专题33 与圆有关的计算【二十个题型】（举一反三）（原卷版）

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专题 33 与圆有关的计算【二十个题型】
【题型 1 求正多边形中心角或边数】........................................................................................................................1
【题型 2 正多边形与圆中求角度、面积、周长】...................................................................................................3
【题型 3 正多边形与圆中求边心距、边长、线段长】...........................................................................................4
【题型 4 正多边形与圆中求最值】............................................................................................................................5
【题型 5 尺规作图-正多边形】..................................................................................................................................6
【题型 6 正多边形与圆的规律问题】........................................................................................................................8
【题型 7 由弧长公式求弧长】....................................................................................................................................9
【题型 8 利用弧长及扇形面积公式求半径、圆心角】.........................................................................................10
【题型 9 求某点的弧形运动路径长度】..................................................................................................................11
【题型 10 由扇形面积公式求扇形面积】.................................................................................................................13
【题型 11 求图形旋转后扫过的面积】.....................................................................................................................14
【题型 12 求弓形面积】.............................................................................................................................................15
【题型 13 求圆锥侧面积、底面半径、高】............................................................................................................16
【题型 14 求圆锥侧面积展开图的圆心角】............................................................................................................17
【题型 15 圆锥的实际问题】.....................................................................................................................................18
【题型 16 圆锥侧面上的最短路径问题】.................................................................................................................19
【题型 17 不规则图形的面积的有关计算之和差法】............................................................................................20
【题型 18 不规则图形的面积的有关计算之等面积法】........................................................................................22
【题型 19 不规则图形的面积的有关计算之旋转法】............................................................................................23
【题型 20 不规则图形的面积的有关计算之全等或对称法】................................................................................24
【知识点 与圆有关的计算】
1. 正多边形与圆
定义：正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心，外接圆的半径叫做正多边形的半径，正多
边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角，中心正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距。
2. 弧长、扇形面积、圆锥的有关计算
n°的圆心角所对的弧长 l为： 。
圆心角为 n°的扇形面积 S为： ；
圆锥的侧面展开图为扇形，底面半径为 R，母线长为 l，高为 h的圆锥的侧面积为 ，全面积为
，母线长、圆锥高、底面圆的半径之间有 ．
圆锥与侧面展开图的等量关系： ，
【题型 1 求正多边形中心角或边数】
【例 1】（2023·四川南充·统考一模）如图，点
A
，
B
，
C
在
⊙O
上，若
BC
，
AB
，
AC
分别是
内接正
三角形．正方形，正
n
边形的一边，则
n=¿
（ ）
A．9 B．10 C．12 D．15
【变式 1-1】（2023·江苏南通·南通田家炳中学校考模拟预测）如图，
△ABC
内接于
⊙O
，
∠C=36°
，
弦
AB
是圆内接正多边形的一边，则该正多边形的边数是 ．
【变式 1-2】（2023·吉林延边·模拟预测）
AB
是
⊙O
的内接正六边形一边，点
P
是优弧
AB
上的一点（点
P
不与点
A
，
B
重合）且
BP∥OA
，
AP
与
OB
交于点
C
，则
∠OCP
的度数为 ．
【变式 1-3】（2023·河北邯郸·校考二模）摩天轮（如图 1）是游乐场中受欢迎的游乐设施之一，它可以看
作一个大圆和六个全等的小圆组成（如图 2），大圆绕着圆心 O匀速旋转，小圆通过顶部挂点（如点
P，N）均匀分布在大圆圆周上，由于重力作用，挂点和小圆圆心连线（如
PQ
）始终垂直于水平线 l．
(1)
∠NOP=¿
________°
(2)若
OA=16
，
⊙O
的半径为 10，小圆的半径都为 1：
① 在旋转一周的过程中，圆心 M与l的最大距离为________；
② 当圆心 H到l的距离等于
OA
时，求
OH
的长；
③ 求证：在旋转过程中，
MQ
的长为定值，并求出这个定值．
【题型 2 正多边形与圆中求角度、面积、周长】
【例 2】（2023·山东淄博·统考一模）如图，正六边形
ABCDEF
内接于
⊙O
，若
⊙O
的周长等于
6 π
，则
正六边形的面积为（ ）
A．
23
√
3
4
B．
7
√
21
3
C．
21
√
3
3
D．
27
√
3
2
【变式 2-1】（2023·陕西西安·校考一模）如图，已知
⊙O
的内接正四边形
ABCD
，点
E
是
⊙O
上任意一点
（除
A
、
B
两点外）则
∠AEB
的度数是（ ）
A．
45 °
B．
60 °
C．
60 °
或
120 °
D．
45 °
或
135 °
【变式 2-2】（2023·福建泉州·校考模拟预测）如图，
⊙O
是正五边形
ABCDE
的内切圆，分别切
AB
，
CD
于点 M，N，P是优弧
MN
上的一点，则
∠MPN
的度数为( )
A．
55 °
B．
60 °
C．
72 °
D．
80 °
【变式 2-3】（2023·江苏·模拟预测）如图，若一个正六边形的对角线
AB
的长为 10，则正六边形的周长（
）
A．5 B．6 C．30 D．36
【题型 3 正多边形与圆中求边心距、边长、线段长】
【例 3】（2023·湖北武汉·校联考模拟预测）门环，在中国绵延了数千多年的，集实用、装饰和门第等级为
一体的一种古建筑构件，也成为中国古建“门文化”中的一部分．现有一个门环图片和抽象示意图如图所
示，图中以正六边形
ABCDEF
的对角线
AC
的中点
O
为圆心，
OB
为半径作
⊙O
，
AQ
切
⊙O
于点
P
，并交
DE
于点
Q
，若
AQ=12
√
3 cm
，则该圆的半径为（ ）
cm
．
A．
2
√
6
B．
3+2
√
3
C．
3+
√
6
D．
3
√
3
【变式 3-1】（2023·山东泰安·统考一模）如图，正六边形螺帽的边长是 2cm，这个扳手的开口 a的值应是
（　 ）
A．
2
√
3
cm B．
√
3
cm C．
2
√
3
3
cm D．1cm
【变式 3-2】（2023·河北唐山·统考二模）如图，点
P
是正六边形
ABCDEF
内部一个动点，
AB=1 cm
，则
点
P
到这个正六边形六条边的距离之和为
cm
．
【变式 3-3】（2023·福建厦门·统考模拟预测）如图，正六边形的半径为
1
，点
M
在边
ED
上运动，连接
AM
，
则
AM
的长度可以是 （只写出一个满足条件的值即可）．
摘要：

专题33与圆有关的计算【二十个题型】【题型1求正多边形中心角或边数】........................................................................................................................1【题型2正多边形与圆中求角度、面积、周长】...................................................................................................3【题型3正多边形与圆中求边心距、边长、线段长】....

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