湖南省长沙市湖南师范大学附属中学2024届高三上学期月考卷（四）数学

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湖南师大附中 2024 届高三月考试卷（四）

数学

命题人：徐凡训、彭如倩、李玲、吴瑶审题人：高三备课组

时量：120 分钟满分：150 分

一、选择题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符

合题目要求的.

1.已知复数，其中 i为虚数单位，则复数在复平面内对应的点的坐标为（）

A. B. C. D. ）

2.若随机事件 A，B满足，，，则（）

A. B. C. D.

8.设是公比不为 1的无穷等比数列，则“ 为递减数列”是“存在正整数，当时，

”的（）

A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件

C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件

4.设，，且，则（）

A. B. C. D.

5. 若，则下列结论中正确的是（

）

A. B.

C. D.

6.函数在区间上所有零点的和等于（）

A.2 B.4 C.6 D.8

7.点M是椭圆（）上的点，以 M为圆心的圆与 x轴相切于椭圆的焦点 F，圆 M与y轴

相交于 P，Q，若是钝角三角形，则椭圆离心率的取值范围是（）

A. B. C. D.

8.已知函数若存在唯一的整数 x，使得成立，则所有满足条件的整

数a的取值集合为（）

A. B. C. D.

二、选择题：本题共 4小题，每小题 5分，共 20 分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要

求.全部选对的得 5分，部分选对的得 2分，有选错的得 0分、

9.已.知双曲线 C过点且渐近线为，则下列结论正确的是（）

A.C的方程为 B.C的离心率为

C.曲线经过 C的一个焦点 D.直线与 C有两个公共点

10.已知向量，满足，且，则（）

A. B. C. D.

11.如图、正方体的棱长为 2，点 M是其侧面上的一个动点（含边界），点 P是线

段上的动点，则下列结论正确的是（）

A.存在点 P，M，使得二面角大小为

B.存在点 P，M，使得平面与平面平行

C.当P为棱的中点且时，则点 M的轨迹长度为

D.当M为中点时，四棱锥外接球的体积为

12.若存在实常数 k和b，使得函数和对其公共定义域上的任意实数 x都满足：和

恒成立，则称此直线为和的“隔离直线”.已知函数（

），（），（），则下列选项正确的是（）

A. 在时单调递增

B. 和之间存在“隔离直线”，且 b的最小值为–4

C. 和之间存在“隔离直线”，且 k的取值范围是

D. 和之间存在唯一的“隔离直线”

三、填空题：本题共 4小题，每小题 5分，共 20 分.

13.已知函数的图象在点处的切线方程是，则 ___________.

14.如图，由 3个全等的钝角三角形与中间一个小等边三角形拼成的一个较大的等边三角形，若

，，则的面积为___________.

15.已知数列的首项，且满足 .若，则 n的最大值为____

_______.

16. 在棱长为 3的正方体中，点 E满足，点 F在平面内，则|

的最小值为___________.

四、解答题：本题共 6小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.（10 分）

已知函数（）的最小值为–2.

（1）求函数的最大值；

（2）把函数的图象向右平移个单位长度，可得函数的图象，且函数在

上单调递增，求的最大值.

18.（12 分）

为了丰富在校学生的课余生活，某校举办了一次趣味运动会活动，学校设置项目 A“毛毛虫旱地龙舟”和项目

B“袋鼠接力跳”.甲、乙两班每班分成两组，每组参加一个项目，进行班级对抗赛.第一个比赛项目 A采取五

局三胜制（即有一方先胜 3局即获胜，比赛结束）；第二个比赛项目 B采取领先 3局者获胜。每局不存在平

局.假设在项目 A中甲班每一局获胜的概率为，在项目 B中甲班每一局获胜的概率为，且每一局之间没

有影响.

（1）求甲班在项目 A中获胜的概率；

（2）若第二个比赛项目 B进行了 7局，仍然没有人领先 3局，比赛结束，领先者也获胜.现比赛已经进行了 2

局，甲班2局全输.设甲班在第二个比赛项目 B中参加总局数为 X、求随机变量X的分布列及期望.

19.（12 分）

如图，已知四棱台的上、下底面分别是边长为 2和4的正方形，，且 A底

面，点 P，Q分别在棱、上.

（1）若 P是的中点，证明：；

（2）若平面，二面角的余弦值为，求四面体的体积.

20.（12 分）

如图，曲线 C由上半椭圆：（，）和部分抛物线：（）

连接而成，与的公共点为 A，B，其中的离心率为 .

（1）求 a，b的值；

（2）过点 B的直线 l与，分别交于点 P，Q（均异于点 A，B），是否存在直线 l，使得以为直径的

圆恰好过点 A，若存在，求出直线 l的方程；若不存在，请说明理由.

21.（12 分）

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摘要：

湖南师大附中2024届高三月考试卷（四）数学命题人：徐凡训、彭如倩、李玲、吴瑶审题人：高三备课组时量：120分钟满分：150分一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知复数，其中i为虚数单位，则复数在复平面内对应的点的坐标为（）A.B.C.D.）2.若随机事件A，B满足，，，则（）A.B.C.D.8.设是公比不为1的无穷等比数列，则“为递减数列”是“存在正整数，当时，”的（）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件4.设，，且，则（）A.B.C.D.5.若，则下列结论中正确的是（）A.B....

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