专题03 导数及其应用（选填题）（解析版）

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五年（2019-2023）年高考真题分项汇编

专题 03 导数及应用（选填题）

函数导数应用是高考必考知识点

考点 01 利用导数求函数单调性，极值最值

一、单选题

1．（2023 年全国新高考Ⅱ卷）已知函数在区间上单调递增，则 a的最小值为（）．

A．B．e C．D．

【答案】C

【分析】根据在上恒成立，再根据分参求最值即可求出．

【详解】依题可知，在上恒成立，显然，所以，

设，所以，所以在上单调递增，

，故，即，即 a的最小值为．

故选：C．

2．（2021 年全国新高考Ⅰ卷）若过点可以作曲线的两条切线，则（）

A．B．

C．D．

【答案】D

【分析】解法一：根据导数几何意义求得切线方程，再构造函数，利用导数研究函数图象，结合图形确定

结果；

解法二：画出曲线的图象，根据直观即可判定点在曲线下方和轴上方时才可以作出两条切线.

【详解】在曲线上任取一点，对函数求导得，

所以，曲线在点处的切线方程为，即，

由题意可知，点在直线上，可得，

令，则 .

当时，，此时函数单调递增，

当时，，此时函数单调递减，

所以，，

由题意可知，直线与曲线的图象有两个交点，则，

当时，，当时，，作出函数的图象如下图所示：



由图可知，当时，直线与曲线的图象有两个交点.

故选：D.

解法二：画出函数曲线的图象如图所示，根据直观即可判定点在曲线下方和轴上方时才可以

作出两条切线.由此可知 .



故选：D.

3．（2020 年全国高考Ⅰ卷）函数的图像在点处的切线方程为（）

A．B．

C．D．

【答案】B

【分析】求得函数的导数，计算出和的值，可得出所求切线的点斜式方程，化简

即可.

【详解】，，，，

因此，所求切线的方程为，即 .

故选：B.

【点睛】本题考查利用导数求解函图象的切线方程，考查计算能力，属于基础题

4．（2020 年全国高考Ⅲ卷）若直线 l与曲线 y=和x2+y2=都相切，则 l的方程为（）

A．y=2x+1 B．y=2x+ C．y=x+1 D．y=x+

【答案】D

【详解】设直线在曲线上的切点为，则，

函数的导数为，则直线的斜率，

设直线的方程为，即，

由于直线与圆相切，则，

两边平方并整理得，解得，（舍），

则直线的方程为，即 .故选：D.

5．（2019 年全国高考Ⅲ卷）已知曲线在点处的切线方程为，则（）

A．B．C．D．

【答案】D

【解析】通过求导数，确定得到切线斜率的表达式，求得，将点的坐标代入直线方程，求得．

【详解】详解：

，

将代入得，故选 D．

【点睛】本题关键得到含有 a，b的等式，利用导数几何意义和点在曲线上得到方程关系．

二、填空题

6．（2023·全国乙卷）设，若函数在上单调递增，则 a的取值范围是___

___.

【答案】

【分析】原问题等价于恒成立，据此将所得的不等式进行恒等变形，可

得，由右侧函数的单调性可得实数的二次不等式，求解二次不等式后可确定实数

的取值范围.

【详解】由函数的解析式可得在区间上恒成立，

则，即在区间上恒成立，

故，而，故，

故即，故，

结合题意可得实数的取值范围是 .

故答案为： .

7．（2022 全国乙卷）已知和分别是函数（且）的极小值点和极大值

点．若，则 a的取值范围是____________．

【答案】

【分析】法一：依题可知，方程的两个根为，即函数与函数的图

象有两个不同的交点，构造函数，利用指数函数的图象和图象变换得到的图象，利用

导数的几何意义求得过原点的切线的斜率，根据几何意义可得出答案.

【详解】[方法一]：【最优解】转化法，零点的问题转为函数图象的交点

因为，所以方程的两个根为，

即方程的两个根为，

即函数与函数的图象有两个不同的交点，

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摘要：

五年（2019-2023）年高考真题分项汇编专题03导数及应用（选填题）函数导数应用是高考必考知识点考点01利用导数求函数单调性，极值最值一、单选题1．（2023年全国新高考Ⅱ卷）已知函数在区间上单调递增，则a的最小值为（）．A．B．eC．D．【答案】C【分析】根据在上恒成立，再根据分参求最值即可求出．【详解】依题可知，在上恒成立，显然，所以，设，所以，所以在上单调递增，，故，即，即a的最小值为．故选：C．2．（2021年全国新高考Ⅰ卷）若过点可以作曲线的两条切线，则（）A．B．C．D．【答案】D【分析】解法一：根据导数几何意义求得切线方程，再构造函数，利用导数研究函数图象，结...

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