专题04 导数及其应用（解答题）（文科）（解析版）

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五年（2019-2023）年高考真题分项汇编

专题 04 导数及应用（解答题）

函数导数应用是高考必考知识点，解答题主要是压轴题的形式出现，常考题型如图所示：

考点 01 利用导数求函数单调性，求参数

一、解答题

1．（2023·年全国新高考Ⅰ卷数学试题）已知函数．

(1)讨论的单调性；

(2)证明：当时，．

【答案】(1)答案见解析(2)证明见解析

【分析】（1）先求导，再分类讨论与两种情况，结合导数与函数单调性的关系即可得解；

（2）方法一：结合（1）中结论，将问题转化为的恒成立问题，构造函数

，利用导数证得即可.

方法二：构造函数，证得，从而得到，进而将问题转化为

的恒成立问题，由此得证.

【详解】（1）因为，定义域为，所以，

当时，由于，则，故恒成立，

所以在上单调递减；

当时，令，解得，

当时，，则在上单调递减；

当时，，则在上单调递增；

综上：当时，在上单调递减；

当时，在上单调递减，在上单调递增.

（2）方法一：

由（1）得，，

要证，即证，即证恒成立，

令，则，

令，则；令，则；

所以在上单调递减，在上单调递增，

所以，则恒成立，

所以当时，恒成立，证毕.

方法二：

令，则，

由于在上单调递增，所以在上单调递增，

又，

所以当时，；当时，；

所以在上单调递减，在上单调递增，

故，则，当且仅当时，等号成立，

因为，

当且仅当，即时，等号成立，

所以要证，即证，即证，

令，则，

令，则；令，则；

所以在上单调递减，在上单调递增，

所以，则恒成立，

所以当时，恒成立，证毕.

2．（2023 年全国高考乙卷数学（文）试题）已知函数．

(1)当时，求曲线在点处的切线方程．

(2)若函数在单调递增，求的取值范围．

【答案】(1) ；(2) .

【分析】（1）由题意首先求得导函数的解析式，然后由导数的几何意义确定切线的斜率和切点坐标，最

后求解切线方程即可；

（2）原问题即在区间上恒成立，整理变形可得在区间

上恒成立，然后分类讨论三种情况即可求得实数的取值范围.

【详解】（1）当时，，

则，

据此可得，

所以函数在处的切线方程为，即 .

（2）由函数的解析式可得，

满足题意时在区间上恒成立.

令，则，

令，原问题等价于在区间上恒成立，

则，

当时，由于，故，在区间上单调递减，

此时，不合题意;

令，则，

当，时，由于，所以在区间上单调递增，

即在区间上单调递增，

所以，在区间上单调递增，，满足题意.

当时，由可得，

当时，在区间上单调递减，即单调递减，

注意到，故当时，，单调递减，

由于，故当时，，不合题意.

综上可知：实数得取值范围是 .

【点睛】方法点睛：

（1）求切线方程的核心是利用导函数求切线的斜率，求函数的导数要准确地把函数拆分成基本初等函数

的和、差、积、商，再利用运算法则求导，合函数求导，应由外到内逐层求导，必要时要进行换元.

（2）由函数的单调性求参数的取值范围的方法

①函数在区间上单调，实际上就是在该区间上 (或)恒成立．

②函数在区间上存在单调区间，实际上就是 (或)在该区间上存在解集．

3．（2022 年全国高考乙卷数学（文）试题）已知函数．

(1)当时，求的最大值；

(2)若恰有一个零点，求 a的取值范围．

【答案】(1) (2)

【分析】（1）由导数确定函数的单调性，即可得解；

（2）求导得，按照、及结合导数讨论函数的单调性，求得函数的

极值，即可得解.

【详解】（1）当时，，则，

当时，，单调递增；

当时，，单调递减；

所以；

（2），则，

当时，，所以当时，，单调递增；

当时，，单调递减；

所以，此时函数无零点，不合题意；

当时，，在上，，单调递增；

在上，，单调递减；

又，

由（1）得，即，所以，

当时，，

则存在，使得，

所以仅在有唯一零点，符合题意；

当时，，所以单调递增，又，

所以有唯一零点，符合题意；

当时，，在上，，单调递增；

在上，，单调递减；此时，

由（1）得当时，，，所以，

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摘要：

五年（2019-2023）年高考真题分项汇编专题04导数及应用（解答题）函数导数应用是高考必考知识点，解答题主要是压轴题的形式出现，常考题型如图所示：考点01利用导数求函数单调性，求参数一、解答题1．（2023·年全国新高考Ⅰ卷数学试题）已知函数．(1)讨论的单调性；(2)证明：当时，．【答案】(1)答案见解析(2)证明见解析【分析】（1）先求导，再分类讨论与两种情况，结合导数与函数单调性的关系即可得解；（2）方法一：结合（1）中结论，将问题转化为的恒成立问题，构造函数，利用导数证得即可.方法二：构造函数，证得，从而得到，进而将问题转化为的恒成立问题，由此得证.【详解】（1）因为，定义域为，所...

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