第四届全国大学生数学竞赛预赛试题-（非数学类）参考答案及评分标准
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第四届全国大学生数学竞赛预赛试题
（非数学类）参考答案及评分标准
一、（本题共 5小题，每小题各 6分，共 30 分）解答下列各题（要求写出重要步骤）.
(1) 求极限 2
1
lim( !)n
nn
→∞ ；
(2) 求通过直线 232
:55430
xy z
Lxyz
0
+
−+=
⎧
⎨
+
−+=
⎩的两个相互垂直的平面 1
π
和2
π
，使其中一个平面过点
；
(4, 3,1)−
(3) 已知函数 ，且
(, )ax by
zuxye
+
=20,
u
xy
∂
=
∂∂ 确定常数 a和，使函数 满足方程
b(, )zzxy=
20
zzz
z
xy x y
∂∂∂
−−+=
∂∂ ∂ ∂ ；
(4) 设函数 连续可微, , 且
()uux=(2) 1u=3
(2)()
L
x
y udx x u udy+++
∫在右半平面上与路径无关，
求；
()ux
(5) 求极限 1
3sin
lim cos
x
x
x
t
x
dt
tt
+
→+∞ +
∫.
解
（1） 因为 22
11
ln( !)
(!) n
nn
ne= ……………………………………（1分）
而 2
1 1 ln1 ln 2 ln
ln( !) 12
n
n
nn
⎛⎞
≤+++
⎜
n
⎝⎠
"⎟
，且 ln
lim 0
n
n
n
→∞
=
………………………（3分）
所以 1ln1 ln2 ln
lim 0
12
n
n
nn
→∞
⎛⎞
+++ =
⎜⎟
⎝⎠
"，
即 2
1
lim ln( !) 0
nn
n
→∞ =， 故 2
1
lim( !)n
nn
→∞ =1 ……………………………………（2分）
（2）过直线 L的平面束为
(2 32) (5543)xyz xyz 0
λ
μ
+−++ + −+=
即 (25)(5)(34)(23)xy z 0
λ
μλμ λμ λμ
+++−+++=
，…………………………（2分）
若平面 1
π
过点 (4 ，代入得
, 3,1)−0
λ
μ
+=
，即
μ
λ
=
−，从而 1
π
的方程为
， ……………………………………（2分）
34 10xyz+−+=
若平面束中的平面 2
π
与1
π
垂直，则
3(2 5 ) 4( 5 ) 1(3 4 ) 0
λ
μλμ λμ
⋅++⋅++⋅+ =
解得 3
λ
μ
=− ，从而平面 2
π
的方程为 253xyz 0
−
−+=
，………………………………（2分）
（3）(),y
ax by
zu
eaux
xx
+
∂∂
⎡⎤
=++
⎢⎥
∂∂
⎣⎦
(),
ax by
zu
ebuxy
yy
+
⎡
⎤
∂∂
=++ ………………（2分）
⎢
⎥
∂∂
⎣
⎦
2(, ).
ax by
zuu
e b a abu x y
xy x y
+
⎡
⎤
∂∂∂
=++
⎢
⎥
∂∂ ∂ ∂
⎣
⎦ ……………………………………（2分）
2zzz
z
xy x y
∂∂∂
−−+
=
∂∂ ∂ ∂ (1) (1) ( 1)(,)
ax by uu
eb a ababuxy
xy
+,
⎡
⎤
∂∂
−+−+−−+
⎢
⎥
∂∂
⎣
⎦
若使
20,
zzz
z
xy x y
∂∂∂
−−+=
∂∂ ∂ ∂ 只有
(1) (1) ( 1)(,
uu
b a ab a b u x y
xy
∂∂
−+−+−−+
∂∂ )=0， 即 1ab
=
=. ………………（2分）
（4）由
()
()
uyx
y
uxu
x)2(][ 3+
∂
∂
=+
∂
∂得
(
)
uuux =+ '4 3, 即 2
4
1ux
udu
dx =− …… .（2分）
方程通解为
(
)
(
)
(
)
CuuCuduuCdueuex uu +=+=+=
∫
∫−2ln2ln 244 . …………………（3分）
由 得
1)2( =u0
=
C, 故
3/1
2⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
=x
u. ……………………………………（1分）
（5）因为当
x
>1 时，
1
3sin
cos
x
x
t
x
dt
tt
+
+
∫1
3
1
x
x
dt
xt
+
≤
−
∫ ………………………………（3分）
()
3
3
212
1
x
xx x
x
x
≤−−=
+
−0( )x→→∞
， ………… ………（2分）
所以 1
3sin
lim cos
x
x
x
t
x
dt
tt
+
→∞ +
∫=0。 ……………………… ………（1分）
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第四届全国大学生数学竞赛预赛试题（非数学类）参考答案及评分标准一、（本题共5小题，每小题各6分，共30分）解答下列各题（要求写出重要步骤）.(1)求极限21lim(!)nnn→∞；(2)求通过直线232:55430xyzLxyz0+−+=⎧⎨+−+=⎩的两个相互垂直的平面1π和2π，使其中一个平面过点；(4,3,1)−(3)已知函数，且(,)axbyzuxye+=20,uxy∂=∂∂确定常数a和，使函数满足方程b(,)zzxy=20zzzzxyxy∂∂∂−−+=∂∂∂∂；(4)设函数连续可微,,且()uux=(2)1u=3(2)()Lxyudxxuudy+++∫在右半平面上与路径无关，求；()...
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