2019年中考数学真题分类训练——专题十九：二次函数综合题

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2019 年中考数学真题分类训练——专题十九：二次函数综合题

1．（2019 广东）如图 1，在平面直角坐标系中，抛物线 y=与x轴交于点

A、B（点 A在点 B右侧），点 D为抛物线的顶点，点 C在y轴的正半轴上，CD 交x轴于点 F，△CAD

绕点 C顺时针旋转得到△CFE，点 A恰好旋转到点 F，连接 BE．

（1）求点 A、B、D的坐标；

（2）求证：四边形 BFCE 是平行四边形；

（3）如图 2，过顶点 D作DD1⊥x轴于点 D1，点 P是抛物线上一动点，过点 P作PM⊥x轴，点 M为

垂足，使得△PAM 与△DD1A相似（不含全等）．

①求出一个满足以上条件的点 P的横坐标；

②直接回答这样的点 P共有几个？

解：（1）令 =0，

解得 x1=1，x2=–7．∴A（1，0），B（–7，0）．

由y= = 得，D（–3，–2）；

（2）∵DD1⊥x轴于点 D1，∴∠COF=∠DD1F=90°，

∵∠D1FD=∠CFO，∴△DD1F∽△COF，∴ ，

∵D（–3，–2），

∴D1D=2 ，OD=3，

∵AC=CF，CO⊥AF，∴OF=OA=1，

∴D1F=D1O–OF=3–1=2，∴ ，

∴OC=，∴CA=CF=FA=2，

∴△ACF 是等边三角形，∴∠AFC=∠ACF，

∵△CAD 绕点 C顺时针旋转得到△CFE，

∴∠ECF=∠AFC=60°，∴EC∥BF，

∵EC=DC= =6，

∵BF=6，∴EC=BF，

∴四边形 BFCE 是平行四边形；

（3）∵点 P是抛物线上一动点，

∴设P点（x，），

①当点 P在B点的左侧时，

∵△PAM 与△DD1A相似，

∴或，

解得：x1=1（不合题意舍去），x2=–11 或x1=1（不合题意舍去）x2=– ；

当点 P在A点的右侧时，

∵△PAM 与△DD1A相似，∴ 或，

∴或，

解得：x1=1（不合题意舍去），x2=–3（不合题意舍去）或 x1=1（不合题意舍去），x2=– （不合题

意舍去）；

当点 P在AB 之间时，

∵△PAM 与△DD1A相似，

∴ = 或=，

∴或，

解得：x1=1（不合题意舍去），x2=–3（不合题意舍去）或 x1=1（不合题意舍去），x2=– ；

综上所述，点 P的横坐标为–11 或– 或– ；

②由①得，这样的点 P共有 3个．

2．（2019 深圳）如图，抛物线经 y=ax2+bx+c过点 A（-1，0），点 C（0，3），且 OB=OC．

（1）求抛物线的解析式及其对称轴；

（2）点 D、E在直线 x=1 上的两个动点，且 DE=1，点 D在点 E的上方，求四边形 ACDE 的周长的

最小值．

（3）点 P为抛物线上一点，连接 CP，直线 CP 把四边形 CBPA 的面积分为 3∶5 两部分，求点 P的坐

标．

解：（1）∵OB=OC，

∴点B（3，0），

则抛物线的表达式为：y=a（x+1）（x-3）=a（x2-2x-3）=ax2-2ax-3a，

故-3a=3，解得：a=-1，

故抛物线的表达式为：y=-x2+2x+3，对称轴为 x=1．

（2）ACDE 的周长=AC+DE+CD+AE，其中 AC 、DE=1 是常数，

故CD+AE 最小时，周长最小，

取点 C关于函数对称点 C（2，3），则 CD=C′D，

取点 A′（-1，1），则 A′D=AE，

故：CD+AE=A′D+DC′，则当 A′、D、C′三点共线时，CD+AE=A′D+DC′最小，周长也最小，

四边形 ACDE 的周长的最小值=AC+DE+CD+AE A′D+DC′A′C′

．

（3）如图，设直线 CP 交x轴于点 E，

直线 CP 把四边形 CBPA 的面积分为 3∶5 两部分，

又∵S△PCB∶S△PCA EB×（yC-yP）∶ AE×（yC-yP）=BE∶AE，

则BE∶AE=3∶5 或5∶3，

则AE 或，

即：点 E的坐标为（，0）或（，0），

将点 E、C的坐标代入一次函数表达式：y=kx+3，

解得：k=-6 或-2，

故直线 CP 的表达式为：y=-2x+3 或y=-6x+3，

联立并解得：x=4 或8（不合题意值已舍去），

故点 P的坐标为（4，-5）或（8，-45）．

3.（2019 雅安）已知二次函数 y=ax2(a≠0)的图象过点（2，-1），点 P（P与O不重合）是图象上

的一点，直线 l过点（0，1）且平行于 x轴。PM⊥l 于点 M，点 F（0，-1）．

（1）求二次函数的解析式；

（2）求证：点 P在线段 MF 的中垂线上；

（3）设直线 PF 交二次函数的图象于另一点 Q，QN⊥l 于点 N，线段 MF 的中垂线交 l于点 R，求

的值；

（4）试判断点 R与以线段 PQ 为直径的圆的位置关系．

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摘要：

2019年中考数学真题分类训练——专题十九：二次函数综合题1．（2019广东）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y=与x轴交于点A、B（点A在点B右侧），点D为抛物线的顶点，点C在y轴的正半轴上，CD交x轴于点F，△CAD绕点C顺时针旋转得到△CFE，点A恰好旋转到点F，连接BE．（1）求点A、B、D的坐标；（2）求证：四边形BFCE是平行四边形；（3）如图2，过顶点D作DD1⊥x轴于点D1，点P是抛物线上一动点，过点P作PM⊥x轴，点M为垂足，使得△PAM与△DD1A相似（不含全等）．①求出一个满足以上条件的点P的横坐标；②直接回答这样的点P共有几个？解：（1）令=0，解得x1=1，x2=–...

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