2022年巴中市零诊考试理科数学参考答案（20220904定稿）

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理科数学答案第 1页 共 11 页
巴中市普通高中 2020 级“零诊”考试
数学阅卷参考答案（理科）
一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5分，共 60 分．在每小题给出的四个选项中，只有
一个是符合题目要求的．
1．【解析】B．先写出集合
M
，然后逐项验证即可．由
{1, 2, 3, 4, 5}U
且
{1, 2}
UMð
得
{3, 4, 5}M
，
故选 B．备注：2022 年全国乙卷理数第 1题改编.
2．【解析】D．利用复数四则运算，先求出
z
，再依照复数的概念求出复数
z
的虚部．选 D．
方法一：由题意有
(3 4i)( i)
3 4i 4 3i
i i ( i)
z 
 
 
，故复数
z
的虚部为
．
方法二：由
i 3 4i i( 3i 4)z  
，得
4 3iz 
，故复数
z
的虚部为
．
3．【解析】A．
1 2 1l l m  ∥
，故“
1m
”是“
1 2
l l∥
”的充分不必要条件．选 A．
4．【解析】D．不妨取双曲线的右焦点
( , 0)c
，渐近线
y bx
，由点到直线距离公式得
24b
，然后利
用离心率的变通公式
2
1 5c b 
，进而求得离心率
e
的值．由题意得，不妨取双曲线的右焦点
2
1 0)( ,F b
，双曲线的渐近线为
y bx
，即
0bx y 
，则
2
2
| 1 0 | 2
1
b b b
b
   
，即
2 2
4b a
，所以离心
率
21 5e b  
．选 D．
5．【解析】C．充分利用长方体中的棱、面之间的关系直观感知，同时结合空间中线面间平行及垂直
的判定与性质推理论证，需注意相应定理的条件的完备性．对于 A选项，
n
也可能；对于 B选项，
由条件得不到
m
，故不能推断出
 
；对于 C选项，则法线与法向量垂直则两个平面垂直知正确；
对于 D选项，条件中缺少
m
，故得不到
m
．
6．【解析】A．由任意角的三角函数定义，得
tan 1 2
a b
 
，故
(2, 2 )B a
，
2
| | 2 1 tan 2 | |OB OA
 
．由
3
cos2 5
 
得：
2 2
2 2
2 2
cos sin
cos2 cos sin cos s 5
in
3
 
   
 
，变形得：
2
2
1 tan
5
1 t
3
an
 
，解得
2
tan 4
，所
以
| | 2 5OB
．或者，设
| |OA r
， 则
2 2
1r a 
，
1
sin , cos , | | 2
aOB r
r r
 
 
； 由
3
cos2 5
 
得
2 2
2 2
2 2
1 1 3
cos2 cos sin 5
1
a a
r a
 
 
 
，解得：
24a
，故
| | 2 2 5OB r 
．选 A．
7．【解析】D．借助判断函数的奇偶性、对称性和有界性，正弦型函数的符号变化规律，均值不等式
等知识进行推断．由
2sin( )
( ) , [ 2, 2]
x x
x
f x x
e e
 
知
( )f x
为奇函数，且在
(0, 1)
内恒正，故 A、B选项不
正确；又
2sin( ) 2x
≤
，
2
x x
e e
≥
且等号不同时成立，由不等式的性质知
| ( ) | 1f x
，排除 C选项．选
D．
8．【 解 析 】A．设公差为
d
， 则
2
1 1
( 1) ( )
2 2
n
n n d
na d n a d nS
 
， 故
1
( )
2 2
n
Sd d
n a
n  
； 又
2023 2022 1
2023 2022
S S
 
，
12022a 
， 故
{ }
n
S
n
是 以
2022
为 首 项 ， 1为公差的等差数列，于是得
2023 2022 (2023 1) 1 0
2023
S 
，所以
2023 0S
．选 A．本题也可用基本量法求解，借助等差数列前
n
项
和的性质运算更为简洁．
9．【解析】D．本题考查平面向量的线性运算、数量积及其几何意义，数量积的坐标表示，数形结合
思想、化归与转化思想、函数与方程思想，运算求解能力．
方 法 一 ：由点 D在BC 上，设
BD xBC
 
, 0 1x≤ ≤
， 则
( )AD AB BD AB xBC AB x AC AB     
     
(1 )x AB xAC 
 
，从而得：
( ) [(1 ( )) ]x AB x ACAD BC AD AC AB AC AB    
 
2 2
( 1) 13 4x AC x AB x 
 
，由
0 1x≤ ≤
得
4 13 4 9x ≤ ≤
，故
[ 4, 9]AD BC  
 
．
方法二：以 A为原点，AB，AC 所在直线分别为
, x y
轴建立直角坐标系（如图），则
(2, 0), (0, 3), ( 2, 3)AB AC BC  
 
，设
( , )D x y
，则
( , )AD x y
，故
2 3AD BC x y  
 
A
x
y
3
2
B
C
D
理科数学答案第 2页 共 11 页
（*），由点 D在BC 上得：
23 2 6 0, 0 xx y   ≤ ≤
（可借助初中的一次函数知识或必修 2第三章直线
的方程获得
, x y
满足的方程），用
x
表示
y
代入（*）式得：
13
2 0 23 9 ,
2
AD BC xx y x  
 
≤ ≤
，故
[ 4, 9]AD BC  
 
．
方法三：设
AD
与与
BC
的夹角为
，则由题意得
13 | | cosAD BC AD
 
 
，故
| | cosAD
取最大值时
AD BC
 
最大，
| | cosAD
取最小值时
AD BC
 
最小，结合上图，用运动变化的观点分析易知：D在斜边
BC 上移动时，当 D与C重合时
AD
的模最大且与
BC
的夹角最小（
ACB
），故此时
AD BC
 
取得最大
值，且
max
AD BC AC BC   
   
( ) 9AC AC AB  
 
；当 D与B重合时
AD
的模最小且与
BC
的夹角最大
（
ABC
 
），故此时
AD BC
 
取得最小值，且
min = ( ) 4AD BC AB BC AB AC AB  
   
．选 D．应注意，
由向量夹角的定义知
ABC
不是向量
AB
与
BC
的夹角！！这是向量问题中的易错点！
10．【解析】B．将函数
cos( )
3
y x
 
的图象向左平移
3
个单位长度，得
cos[ ( ) ]
3 3
y x
 
 
的图象．而
5
cos[ ( ) ] cos( ) sin[ ( )] sin( )
3 3 3 3 2 3 3 3 6
y x x x x
    
 
       
，故由题意知
sin x
5
sin( )
3 6
x
 
 
，所以
52
3 6
x k x
 
 
 
(
kZ
)，解得
5
62
k
 
 
(
kZ
)，由
0
知：
当
1k
时取最小值，故
min 7
2
．选 B．或者，由
cos( )
3
y x
 
知
2
3
x
 
 
时
1y
，由
siny x
知当
2
x
时
1y
，故由题意得
5
3 3 2
 
 
 
，解得
7
2
．
11．【解析】B．由
( 1) 2 ( )f x f x 
得：
( ) 2 ( 1)f x f x 
．又当
(0, 1]x
时，
1 1
( ) sin [ , 0]
4 4
f x x
 
，故当
(1, 2]x
时，
1
( ) [ , 0]
2
f x  
；类推得：当
(2, 3]x
时，
( ) 4 ( 2) sin [ 1, 0]f x f x x
 
，且
(2 , 3 ]x
 
．如图．
由
3
sin 2
x
 
得
3
sin 2
x
，解得
1
23
x
 
 
或
2
23
x
 
 
，解得
7
3
x
或
8
3
x
．故若对任意
( , ]x m 
，都有
2
(3
)f x ≥
，则
7
3
m≤
．选 B．
12．【解析】C．要比较
, , a b c
的大小，可先比较
ln , ln , lnabc
的大小．又
ln 22ln 20a
，
ln 21ln 21b
，
ln 20ln 22c
．
方法一：由
22 20 21 21 20 22 42    
，令函数
( ) (42 )ln , 20f x x x x  ≥
，则
42
( ) ln 1f x x x
 
在
[20, ) 
上单调递减，所以
11
( ) (20) ln 20 10
f x f
  ≤
；因为
2 2
3 9 20e  
，所以
ln 20 2
，
ln 20 2  
，
所 以
1 11 91
( ) (20) ln 2 0
10
20 1010
f x f
   
  ≤
， 由 此 知
( )f x
在
[20, ) 
上 单 调 递 减 ， 故
(20) (21) (22)f f f 
，即
ln ln lnabc 
，故
c b a 
．故选 C．
方法二：先比较
ln a
与
ln c
的大小，易证：函数
ln
( ) x
g x x
在
( , )e 
上单调递减，故
ln 20 ln 22
20 22
，所以
ln 22ln 20 20ln 22 lna c
，从而
a c
；再比较比较
ln a
与
ln b
的大小，令
ln
( ) , 20
1
x
h x x
x
≥
，则
2
1ln
( ) ( 1)
xx
x
h x x
，记
1ln
x
y x
x
 
，则
2
1 1 0yx
x
 
，故
1ln
x
y x
x
 
在
(0, ) 
上是减函数，所以
当
20x≥
时，
21 ln 20 0
20
y ≤
，从而
( ) 0h x
，由此知
( )h x
在
[20, ) 
上单调递减，故
(20) (21)h h
，
即
ln 20 ln 21
21 22
，变形得
22ln 20 21ln 21
，所以
ln lna b
，由此得
a b
；同理可比较得到
b c
；故
abc 
．故选 C．
二、填空题：本大题共 4个小题，每小题 5分，共 20 分．
13．【解析】
1
．利用二项展开式的通项公式及已知建立
m
的方程求得
m
的值．因为展开式中含
3
x
的
项为
3
5
3 3 32
C 2 ( ) 40mx m x  
，所以
3
340 40a m 
，解得
1m 
．注：本题原型为人教 A版选修 2-3
例2（1）题，主要考查二项式定理及其通项公式，及数学运算核心素养和运算求解能力．
14．【解析】57．计算得
1(2 3 5 6) 4
4
x  
，
1(28 31 41 48) 37
4
y  
，则样本中心点是
(4, 37)
，
代入回归方程得
5 37 5 4 17a y x  
，所以回归方程是
5 17y x 
，将
8x
代入得
57y
．
理科数学答案第 3页 共 11 页
15．【解析】
8 6
．由题意有：
BD
平面
ADC
，
, AD DC
平面
ADC
，故
, BD AD BD CD 
； 由
2BD
2 2AB
，
2 5BC
及勾股定理得：
2, 4AD CD 
，又
2 5AC
，故
2 2 2
AD CD AC 
，所以
AD DC
，即 BD，
AD，CD 两两垂直，所以三棱
A BCD
的外接球与以 BD，AD，CD 分别为长、
宽、高的长方体的外接相同（如右图，O为 球 心 ）， 所 以 球 半 径
222
224 6
2
R 
 
，从而
3
48 6
3
V R
 
 
．
16．【解析】
3
，
2 3
[ , 3)
3
．以三角形边角关系的射影定理为背景，综合考查正弦、余弦定理、三角
变换的基本公式与方法，三角函数的图象与性质等知识，求角 A时，既可用正弦定理边化角，也可用
余弦定理角化边，还可直接用教材中习题的结论——射影定理简化；对于
1 1
tan tanB C
的范围问题，可
切化弦后转化为求
sin sinB C
的范围，利用
2
3
B C
 
且
0 , 2
B C
 
转化只含一个角变量的函数的值域，
此时可直接代入消元化简也可用对称设元简化；也可用三角形中三内角的正切关系
tan tan tan tan tan tanA B C A B C  
转化；还可以构造几何图形作几何法或坐标法求解．
（1）求角 A的过程与方法．
①由已知及正弦定理得：
2sin cos sin cos sin cos sin( ) sinA A C B B C B C A  
，又
02
A
 
，
故
1
cos 2
A
，所以
3
A
．
②由已知及射影定理得：
2 cos cos cosa A c B b C a 
，故
1
cos 2
A
，又
02
A
 
，所以
3
A
．
③由已知及余弦定理得：
2 2 2 2 2 2 2 cos
2 2
a c b a b c a A
a a
 
 
，化简得
1
cos 2
A
，又
02
A
 
，所以
3
A
．
（2）求
1 1
tan tanB C
范围的过程与方法．
策略一：切化弦后转化借助正弦型函数的图象与性质．
sin( ) 3
1 1 cos cos cos sin cos sin sin
tan tan sin sin sin sin sin sin sin sin 2sin sin
B C
B C B C C B A
B C B C B C B C B C B C
  
，由
3
A
得
2
3
B C
 
，故
2
3
C B
 
，又 B为锐角，所以
6 2
B
 
 
．
①
3 3
2 1 1 1 1 1
sin sin sin sin( ) sin ( cos sin ) sin 2 cos 2 sin(2 )
3 2 2 4 4 4 2 6 4
B C B B B B B B B B
 
 
．因
为
5
2
6 6 6
B
 
 
， 故
1sin(2 ) 1
2 6
B
≤
，当且仅当
3
B
取等号，所以
1 3
sin sin ( , ]
2 4
B C
， 故
1 1
tan tanB C
2 3
[ , 3)
3
．
② 令
,
3 3
B x C x
 
   
， 由 B、C均为锐角得
6 6
x
 
 
， 故
sin sin sin( )sin( )
3 3
B C x x
 
 
2 2 2
3 3
1 1 3 1 3
( cos sin )( cos sin ) cos sin sin
2 2 2 2 4 4 4
1 3
( , ]
2 4
x x x x x x x  
，
下同．
③由和、差角的余弦公式可得：
1
2sin sin cos( ) cos( ) cos( ) 2
B C B C B C B C    
，由已知得
,
6 2
B C
 
 
，故
3 3
B C
 
 
，所以
1
cos( ) ( , 1]
2
B C 
，故
3
2sin sin (1, ]
2
B C
，下同．
策略二：用余弦定理转化．
④在
ABC△
中，由正弦、余弦定理得：
2 2 2
sin sin 2sin sin cos sinB C B C A A 
，代入
3
A
得：
2 2
3sin sin sin sin
4B C B C  
，变形得
2
3
sin sin (sin sin )
4
B C B C 
，由已知得
1
0 | sin sin | 2
B C ≤
，故
3
4
1sin sin
2B C≤
，仅当
sin sinB C
时取等号；下同．
策略三：用公式
tan tan tan tan tan tanA B C A B C  
转化．
⑤由
3
A
得：
tan tan
tan( ) tan 3 1 tan tan
B C
B C A B C
   
，变形得：
3(tan tan 1) tan tanB C B C 
，
摘要：

理科数学答案第1页共11页巴中市普通高中2020级“零诊”考试数学阅卷参考答案（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．1．【解析】B．先写出集合M，然后逐项验证即可．由{1,2,3,4,5}U且{1,2}UMð得{3,4,5}M，故选B．备注：2022年全国乙卷理数第1题改编.2．【解析】D．利用复数四则运算，先求出z，再依照复数的概念求出复数z的虚部．选D．方法一：由题意有(34i)(i)34i43iii(i)z，故复数z的虚部为3．方法二：由i34ii(3i4)z，得43iz...

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