北京市海淀区2024届高三上学期期中考试数学
2025-05-18
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2023 北京海淀高三（上）期中
数 学
2023.11
本试卷共 6页，150 分，考试时长 120 分钟。考生务必将答案答在答题纸上，在试卷上作答无效。考试
结束后，将本试卷和答题纸一并交回.
第一部分(选择题共 40 分)
一、选择题共 10 小题，每小题 4分，共 40 分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
(1)已知集合
2A x x=
，
1,2B=
，则
AB=
(A)
( )
,2−
(B)
( 2],−
(C)
1
(D)
1,2
(2)若复数 z满足
2
i1i
z= +
，则 z=
(A)
1i−−
(B)
1i−+
(C)
1i−
(D)
1i+
(3)下列函数中，既是偶函数又在区间
( )
0,+
上单调递增的是
(A)
lnyx=
(B)
3
yx=
(C)
tanyx=
(D)
2x
y=
(4)已知向量 a，b满足
)1(2a=，
，
12()ab− = − ，
，则
ab=
(A)-5 (B)0
(C)5 (D)7
(5)设等差数列
n
a
的前 n项和为
n
S
，且
515S=
，则
24
·aa
的最大值为
(A)
9
4
(B)3
(C)9 (D)36
(6)设
4
log 6a=
，
2
log 3b=
，
3
2
c=
，则
(A)
abc
(B)
c b a
(C)
bac
(D)
b c a
(7)“
sin tan 0
+
”是“
为第一或第三象限角”的
(A)充分而不必要条件 (B)必要而不充分条件
(C)充分必要条件 (D)既不充分也不必要条件
(8)在
ABC
中，
sin sin 2BA=
，
2ca=
，则|
第2页/共4页
(A)
B
为直角 (B)
B
为钝角
(C)
C
为直角 (D)
C
为钝角
(9)古典吉他的示意图如图所示.
0
A
，B分别是上弦枕、下弦枕，
1 2 1( 9)
iiA = ， ，
是第
i
品丝.记
i
a
为
i
A
与
1
i
A−
的距离，
i
L
为
i
A
与
0
A
的距离，且满足
1Li
i
XL
aM
−
−
=
，
i
= 1，2，…，
19，其中
L
X
为弦长(
0
A
与B的距离)，M为大于 1的常数，并规定
00L=
.则
(A)数列
1 2 19
, , ,a a a
是等差数列，且公差为
2
L
X
M
−
(B)数列
1 2 19
, , ,a a a
是等比数列，且公比为
1M
M
−
(C)数列
1 2 19
, , ,L L L
是等比数列，且公比为
21M
M
−
(D)数列
1 2 19
, , ,L L L
是等差数列，且公差为
2
( 1) L
MX
M
−
(10)在等腰直角三角形 ABC 中，AB=2，M为斜边 BC 的中点，以 M为圆心，MA 为半径作𝐴𝐶
̂，点 P在线段
BC 上，点 Q在𝐴𝐶
̂上，则
AP MQ+
的取值范围是
(A)
[0 ]10，
(B)
[0 ]22+，
(C)
[2 2 0]1−，
(D)
]2 2 2[ 2−+，
第二部分(非选择题共 110 分)
二、填空题共 5小题，每小题 5分，共 25 分。
(11)函数
( ) ( )
1
lg 1f x x x
= + +
的定义域是__________.
(12)在平面直角坐标系
xOy
中，角 a以Ox 为始边，终边经过点
2(1 )P−，
，则
tan 2
=_________.
(13)已知非零向量
( )
12
a x e e=+
，
12
b e ye=+
，其中
1
e
，
2
e
是一组不共线的向量.能使得 a与b的方向相
反的一组实数 x，y的值为 x=_____，y=_____.
(14)已知函数
( ) ( )
2sinf x x
=+
的部分图象如图所不.
①函数
( )
fx
的最小正周期为___________；
②将函数
( )
fx
的图象向右平移
( )
0tt
个单位长度，得到函数
( )
gx
的图象.若
函数
( )
gx
为奇函数，则 t的最小值是____________.
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(15)已知函数
( )
2
2 , ,
2 , .
xa x a
fx x ax x a
+
=+
给出下列四个结论:
①当 a=0 时，
( )
fx
的最小值为 0；
②当
1
3
a
时，
( )
fx
存在最小值;
③记
( )
fx
的零点个数为
( )
ga
，则函数
( )
ga
的值域为
03}1{ 2，，，
;
④当
1a
时，对任意
12
,x x R
，
( )
212
1
( 2 ( )
2
)x
f x f x x
f+
+
其中所有正确结论的序号是____________.
三、解答题共 6小题，共 85 分。解答应写出文宇说明，演算步骤或证明过程。
(16)(本小题 14 分)
已知无穷等比数列
n
a
的各项均为整数，其前 n项和为
n
S
，
23a=
，
13
10aa+=
.
(I)求
n
a
的通项公式；
(II)证明：对
*12
N ,3 ,2 ,
k k k
k S S S
++
这三个数成等差数列.
(17)(本小题 14 分)
已知函数
( ) 2cos cos( )( )
2
f x x x
= +
，从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已
知，使函数
( )
fx
存在.
(I)求
的值；
(II)求
( )
fx
在区间
,0
2
−［ ］
上的最大值和最小值.
条件①:
()1
3
f
=
；
条件②：函数
( )
fx
在区间
[0, ]
4
上是增函数；
条件③：
2
, ( ) ( )
3
x R f x f
注：如果选择的条件不符合要求，得 0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分.
(18)(本小题 14 分)
已知曲线
2
:4C y x=−
与x轴交于不同的两点 A，B(点A在点 B的左侧)，点
()0Pt，
在线段 AB 上(不与端点
重合)，过点 P作x轴的垂线交曲线 C于点 Q.
(I)若
APQ
为等腰直角三角形，求
APQ
的面积；
(D)记
APQ
的面积为
( )
St
，求
( )
St
的最大值.
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第1页/共4页2023北京海淀高三（上）期中数学2023.11本试卷共6页，150分，考试时长120分钟。考生务必将答案答在答题纸上，在试卷上作答无效。考试结束后，将本试卷和答题纸一并交回.第一部分(选择题共40分)一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。(1)已知集合，，则(A)(B)(C)(D)(2)若复数z满足，则z=(A)(B)(C)(D)(3)下列函数中，既是偶函数又在区间上单调递增的是(A)(B)(C)(D)(4)已知向量a，b满足，，则(A)-5(B)0(C)5(D)7(5)设等差数列的前n项和为，且，则的最大值为(A)(B)...
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