北京市海淀区2024届高三上学期期中考试数学

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2023 北京海淀高三（上）期中

数学

2023.11

本试卷共 6页，150 分，考试时长 120 分钟。考生务必将答案答在答题纸上，在试卷上作答无效。考试

结束后，将本试卷和答题纸一并交回.

第一部分(选择题共 40 分)

一、选择题共 10 小题，每小题 4分，共 40 分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

(1)已知集合

 

2A x x=

，

 

1,2B=

，则

AB=

(A)

( )

,2−

(B)

( 2],−

(C)

 

(D)

 

1,2

(2)若复数 z满足

i1i

z= +

，则 z=

(A)

1i−−

(B)

1i−+

(C)

1i−

(D)

1i+

(3)下列函数中，既是偶函数又在区间

( )

0,+

上单调递增的是

(A)

lnyx=

(B)

yx=

(C)

tanyx=

(D)

(4)已知向量 a，b满足

)1(2a=，

，

12()ab− = − ，

，则

ab=

(A)-5 (B)0

(5)设等差数列

 

的前 n项和为

，且

515S=

，则

·aa

的最大值为

(A)

(B)3

(6)设

log 6a=

，

log 3b=

，

，则

(A)

abc

(B)

c b a

(C)

bac

(D)

b c a

(7)“

sin tan 0



+

”是“



为第一或第三象限角”的

(A)充分而不必要条件 (B)必要而不充分条件

(C)充分必要条件 (D)既不充分也不必要条件

(8)在

ABC

中，

sin sin 2BA=

，

2ca=

，则|

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(A)

B

为直角 (B)

B

为钝角

(C)

C

为直角 (D)

C

为钝角

(9)古典吉他的示意图如图所示.

，B分别是上弦枕、下弦枕，

1 2 1( 9)

iiA = ，，

是第

品丝.记

为

与

A−

的距离，

为

与

的距离，且满足

1Li

−

，

= 1，2，…，

19，其中

为弦长(

与B的距离)，M为大于 1的常数，并规定

00L=

.则

(A)数列

1 2 19

, , ,a a a

是等差数列，且公差为

−

(B)数列

1 2 19

, , ,a a a

是等比数列，且公比为

−

(C)数列

1 2 19

, , ,L L L

是等比数列，且公比为

21M

−

(D)数列

1 2 19

, , ,L L L

是等差数列，且公差为

( 1) L

−

(10)在等腰直角三角形 ABC 中，AB=2，M为斜边 BC 的中点，以 M为圆心，MA 为半径作𝐴𝐶

̂，点 P在线段

BC 上，点 Q在𝐴𝐶

̂上，则

AP MQ+

的取值范围是

(A)

[0 ]10，

(B)

[0 ]22+，

(C)

[2 2 0]1−，

(D)

]2 2 2[ 2−+，

第二部分(非选择题共 110 分)

二、填空题共 5小题，每小题 5分，共 25 分。

(11)函数

( ) ( )

lg 1f x x x

= + +

的定义域是__________.

(12)在平面直角坐标系

xOy

中，角 a以Ox 为始边，终边经过点

2(1 )P−，

，则

tan 2



=_________.

(13)已知非零向量

( )

a x e e=+

，

b e ye=+

，其中

，

是一组不共线的向量.能使得 a与b的方向相

反的一组实数 x，y的值为 x=_____，y=_____.

(14)已知函数

( ) ( )

2sinf x x



的部分图象如图所不.

①函数

( )

的最小正周期为___________；

②将函数

( )

的图象向右平移

( )

0tt

个单位长度，得到函数

( )

的图象.若

函数

( )

为奇函数，则 t的最小值是____________.

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(15)已知函数

( )

2 , ,

2 , .

xa x a

fx x ax x a

+



=+





给出下列四个结论:

①当 a=0 时，

( )

的最小值为 0；

②当

a

时，

( )

存在最小值;

③记

( )

的零点个数为

( )

，则函数

( )

的值域为

03}1{ 2，，，

;

④当

1a

时，对任意

,x x R

，

( )

212

( 2 ( )

f x f x x

+ 

其中所有正确结论的序号是____________.

三、解答题共 6小题，共 85 分。解答应写出文宇说明，演算步骤或证明过程。

(16)(本小题 14 分)

已知无穷等比数列

 

的各项均为整数，其前 n项和为

，

23a=

，

10aa+=

(I)求

 

的通项公式；

(II)证明：对

*12

N ,3 ,2 ,

k k k

k S S S



这三个数成等差数列.

(17)(本小题 14 分)

已知函数

( ) 2cos cos( )( )

f x x x





=  + 

，从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已

知，使函数

( )

存在.

(I)求



的值；

(II)求

( )

在区间



−［］

上的最大值和最小值.

条件①:

()1



；

条件②：函数

( )

在区间

[0, ]



上是增函数；

条件③：

, ( ) ( )

x R f x f



  

注：如果选择的条件不符合要求，得 0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分.

(18)(本小题 14 分)

已知曲线

:4C y x=−

与x轴交于不同的两点 A，B(点A在点 B的左侧)，点

()0Pt，

在线段 AB 上(不与端点

重合)，过点 P作x轴的垂线交曲线 C于点 Q.

(I)若

APQ

为等腰直角三角形，求

APQ

的面积；

(D)记

APQ

的面积为

( )

，求

( )

的最大值.

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摘要：

第1页/共4页2023北京海淀高三（上）期中数学2023.11本试卷共6页，150分，考试时长120分钟。考生务必将答案答在答题纸上，在试卷上作答无效。考试结束后，将本试卷和答题纸一并交回.第一部分(选择题共40分)一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。(1)已知集合，，则(A)(B)(C)(D)(2)若复数z满足，则z=(A)(B)(C)(D)(3)下列函数中，既是偶函数又在区间上单调递增的是(A)(B)(C)(D)(4)已知向量a，b满足，，则(A)-5(B)0(C)5(D)7(5)设等差数列的前n项和为，且，则的最大值为(A)(B)...

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