重难点05 反比例函数与一次函数的综合（解析版）
2025-05-14
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重难点 05 反比例函数与一次函数的综合
考点一：一次函数
一次函数在中考数学中主要考察其图象、性质以及其简单应用，考察题型较为灵活。但是一张中考数
学与试卷中，单独考察一次函数的题目占比并不是很大，更多的是考察一次函数与其他几何知识的结合。
占比也比较大，需要对该考点掌握的更为熟练。
题型 01 一次函数图象上点的坐标特征
解题大招 01：一次函数解析求法是待定系数法，即：①设，②代，③解，④写；
解题大招 02：当说明“点在函数图象上”时，立刻想“点的坐标符合其解析式”；
解题大招 03：一次函数的 k决定直线的增减性，b决定直线与 y轴的交点纵坐标；
解题大招 04：一次函数图象平移规律：左加右减（x），上加下减（整体）；
【中考真题练】
1．（2023•临沂）对于某个一次函数 y＝kx+b（k≠0），根据两位同学的对话得出的结论，错误的是（
）
A．k＞0 B．kb＜0 C．k+b＞0 D．k＝﹣ b
【分析】根据一次函数的性质以及一次函数图象上点的坐标特征判断即可．
【解答】解：∵一次函数 y＝kx+b（k≠0）的图象不经过第二象限，
∴b≤0，
又∵函数图象经过点（2，0），
∴图象经过第一、三、四象限，
∴k＞0，k＝﹣ b，
∴kb＜0，
∴k+b＝b＜0，
∴错误的是 k+b＞0．
故选：C．
2．（2023•雅安）在平面直角坐标系中，将函数 y＝x的图象绕坐标原点逆时针旋转 90°，再向上平移 1个
单位长度，所得直线的函数表达式为（ ）
A．y＝﹣x+1 B．y＝x+1 C．y＝﹣x1﹣D．y＝x1﹣
【分析】找出 y＝x上一个点坐标，进而旋转 90°后对应点的坐标，即可得到旋转后一次函数解析式，再
根据上加下减的平移规则即可求得直线的函数表达式为 y＝﹣x+1．
【解答】解：在函数 y＝x的图象上取点 A（1，1），
绕原点逆时针方向旋转 90°后得到对应的点的坐标 A′（﹣1，1），
则旋转后的直线的解析式为 y＝﹣x，
再向上平移 1个单位长度，得到 y＝﹣x+1．
故选：A．
3．（2023•荆州）如图，直线 y＝﹣ x+3 分别与 x轴，y轴交于点 A，B，将△OAB 绕着点 A顺时针旋转
90°得到△CAD，则点 B的对应点 D的坐标是（ ）
A．（2，5）B．（3，5）C．（5，2）D．（ ，2）
【分析】先根据坐标轴上点的坐标特征求出 B点坐标为（0，3），A点坐标为（2，0），则 OA＝
2，OB＝3，再根据旋转的性质得∠OAC＝90°，∠ACD＝∠AOB＝90°，AC＝AO＝2，CD＝OB＝3，然
后根据点的坐标的确定方法即可得到点 D的坐标．
【解答】解：当 x＝0时，y＝﹣ x+3＝3，则 B点坐标为（0，3）；
当y＝0时，﹣ x+3＝0，解得 x＝2，则 A点坐标为（2，0），
则OA＝2，OB＝3，
∵△AOB 绕点 A顺时针旋转 90°后得到△ACD，
∴∠OAC＝90°，∠ACD＝∠AOB＝90°，AC＝AO＝2，CD＝OB＝3，
即AC⊥x轴，CD∥x轴，
∴点D的坐标为（5，2）．
故选：C．
4．（2023•无锡）一次函数 y＝x2﹣的图象与坐标轴围成的三角形的面积是 2 ．
【分析】利用一次函数图象上点的坐标特征，可求出一次函数 y＝x2﹣的图象与两坐标轴的交点坐标，
再利用三角形的面积公式，即可求出一次函数 y＝x2﹣的图象与坐标轴围成的三角形的面积．
【解答】解：当 x＝0时，y＝1×0 2﹣＝﹣2，
∴一次函数 y＝x2﹣的图象与 y轴交于点（0，﹣2）；
当y＝0时，x2﹣＝0，
解得：x＝2，
∴一次函数 y＝x2﹣的图象与 x轴交于点（2，0）．
∴一次函数 y＝x2﹣的图象与坐标轴围成的三角形的面积是 ×| 2|×2﹣＝2．
故答案为：2．
5．（2023•苏州）已知一次函数 y＝kx+b的图象经过点（1，3）和（﹣1，2），则 k2﹣b2＝ ﹣ 6 ．
【分析】利用待定系数法即可解得．
【解答】解：由题意得，将点（1，3）和（﹣1，2）代入 y＝kx+b得：
，
解得： ，
∴，
另一种解法：由题意得，将点（1，3）和（﹣1，2）代入 y＝kx+b得：
，
∴k2﹣b2＝（k+b）（k﹣b）＝﹣（k+b）（﹣k+b）＝﹣3×2＝﹣6．
故答案为：﹣6．
6．（2023•南充）如图，直线 y＝kx 2﹣k+3（k为常数，k＜0）与 x，y轴分别交于点 A，B，则 +的值
是 1 ．
【分析】根据一次函数的解析式，可以求得点 A和点 B的坐标，然后即可计算出 +的值．
【解答】解：∵直线 y＝kx 2﹣k+3，
∴当x＝0时，y＝﹣2k+3；当 y＝0时，x＝ ；
∴点A的坐标为（ ，0），点 B的坐标为（0，﹣2k+3），
∴OA＝ ，OB＝﹣2k+3，
∴+
＝+
＝ ﹣
＝
＝1，
故答案为：1．
7．（2023•青海）如图是平面直角坐标系中的一组直线，按此规律推断，第 5条直线与 x轴交点的横坐标
是 10 ．
【分析】根据每条直线与 x轴交点的横坐标解答即可．
【解答】解：由题知，这组直线是平行直线，每条直线与 x轴交点的横坐标依次是 2，4，6...，
∴第5条直线与 x轴的交点的横坐标是 10．
故答案为：10．
8．（2023•黑龙江）如图，在平面直角坐标系中，△ABC 的顶点 A在直线 l1：y＝x上，顶点 B在x轴
上，AB 垂直 x轴，且 OB＝2，顶点 C在直线 l2：y＝x上，BC⊥l2；过点 A作直线 l2的垂线，垂
足为 C1，交 x轴于 B1，过点 B1作A1B1垂直 x轴，交 l1于点 A1，连接 A1C1，得到第一个△A1B1C1；过点
A1作直线 l2的垂线，垂足为 C2，交 x轴于 B2，过点 B2作A2B2垂直 x轴，交 l1于点 A2，连接 A2C2，得到
第二个△A2B2C2；如此下去，…，则△A2023B2023C2023 的面积是 2 4046
．
【分析】解直角三角形得出∠AOB＝30°，∠BOC＝60°，求出 S△ABC＝ ，证明
△ABC∽△A1B1C1，△ABC∽△A2B2C2，得出 ＝4S△ABC， ＝42•S△ABC＝
（22）2•S△ABC，总结得出 ＝（2n）2S△ABC＝22nS△ABC，从而得出 ＝22×2023×
＝24046 ．
【解答】解：∵OB＝2，
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重难点05反比例函数与一次函数的综合考点一：一次函数一次函数在中考数学中主要考察其图象、性质以及其简单应用，考察题型较为灵活。但是一张中考数学与试卷中，单独考察一次函数的题目占比并不是很大，更多的是考察一次函数与其他几何知识的结合。占比也比较大，需要对该考点掌握的更为熟练。题型01一次函数图象上点的坐标特征解题大招01：一次函数解析求法是待定系数法，即：①设，②代，③解，④写；解题大招02：当说明“点在函数图象上”时，立刻想“点的坐标符合其解析式”；解题大招03：一次函数的k决定直线的增减性，b决定直线与y轴的交点纵坐标；解题大招04：一次函数图象平移规律：左加右减（x），上加下减（整体）；【...
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