重难点06 二次函数图象性质及其综合应用（解析版）

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重难点 06 二次函数图象性质及其综合应用
考点一：二次函数的图象与性质
二次函数是中考三大函数中内容最多，考察难度最大的一个函数。而二次函数的图象更是其庞大内容
的核心，初中数学中需要我们详细的掌握抛物线的画法、特征、性质、与系数的关系、几何变换等几个方
面的知识，进而在多变的题型中快速找到解决它们的方法。
题型 01 二次函数图象与性质
易错点 01：对于二次函数 y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象：
形状：抛物线； 对称轴：直线
x=− b
2a
；顶点坐标：
(− b
2a，4ac−b2
4a)
；
其中抛物线的顶点坐标的纵坐标与一元二次方程解法中的公式法的表达式比较相似，需要重点加以区分；
易错点 02：抛物线的增减性问题，由 a的正负和对称轴同时确定，单一的直接说 y随x的增大而增大
（或减小）是不对的，必须在确定 a的正负后，附加一定的自变量 x取值范围；
解题大招：对于
y=ax2+bx+c
上的各个点，
当
a＞0
时，抛物线开口向上，图象有最低点，函数有最小值，哪个点离对称轴越近，哪个点的纵坐标越
小；
当
a＜0
时，抛物线开口向下，图象有最高点，函数有最大值，哪个点离对称轴越近，哪个点的纵坐标越
大；
【中考真题练】
1．（2023•台州）抛物线 y＝ax2﹣a（a≠0）与直线 y＝kx 交于 A（x1，y1），B（x2，y2）两点，若 x1+x2＜
0，则直线 y＝ax+k一定经过（　　）
A．第一、二象限 B．第二、三象限
C．第三、四象限 D．第一、四象限
【分析】根据已知条件可得出 ax2﹣kx﹣a＝0，再利用根与系数的关系，分情况讨论即可．
【解答】解：∵抛物线 y＝ax2﹣a（a≠0）与直线 y＝kx 交于 A（x1，y1），B（x2，y2）两点，
∴kx＝ax2﹣a，
∴ax2﹣kx﹣a＝0，
∴，
∴，
当a＞0，k＜0时，直线 y＝ax+k经过第一、三、四象限，
当a＜0，k＞0时，直线 y＝ax+k经过第一、二、四象限，
综上，直线 y＝ax+k一定经过一、四象限．
故选：D．
2．（2023•邵阳）已知 P1（x1，y1），P2（x2，y2）是抛物线 y＝ax2+4ax+3（a是常数，a≠0）上的点，现有
以下四个结论：①该抛物线的对称轴是直线 x＝﹣2；②点（0，3）在抛物线上；③若x1＞x2＞﹣2，
则y1＞y2；④若y1＝y2，则 x1+x2＝﹣2，其中，正确结论的个数为（　　）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【分析】根据题目中的二次函数的性质，可以判断各个小题中的结论是否正确，从而可以解答本题．
【解答】解：∵抛物线 y＝ax2+4ax+3 的对称轴为直线 x＝﹣ ＝﹣2，
∴①正确；
当x＝0时，y＝3，则点（0，3）在抛物线上，
∴②正确；
当a＞0时，x1＞x2＞﹣2，则 y1＞y2；
当a＜0时，x1＞x2＞﹣2，则 y1＜y2；
∴③错误；
当y1＝y2，则 x1+x2＝﹣4，
∴④错误；
故正确的有 2个，
故选：B．
3．（2023•扬州）已知二次函数 y＝ax22﹣x+（a为常数，且 a＞0），下列结论：①函数图象一定经过
第一、二、四象限；②函数图象一定不经过第三象限；③当x＜0时，y随x的增大而减小；④当x＞0
时，y随x的增大而增大．其中所有正确结论的序号是（　　）
A．①② B．②③ C．②D．③④
【分析】由 a的正负可确定出抛物线的开口方向，结合函数的性质逐项判断即可．
【解答】解：∵a＞0时，抛物线开口向上，
∴对称轴为直线 x＝ ＝ ＞0，
当x＜0时，y随x的增大而减小，
当x＞ 时，y随x的增大而增大，
∴函数图象一定不经过第三象限，函数图象可能经过第一、二、四象限．
故选：B．
4．（2023•安徽）下列函数中，y的值随 x值的增大而减小的是（　　）
A．y＝x2+1 B．y＝﹣x2+1 C．y＝2x+1 D．y＝﹣2x+1
【分析】根据各函数解析式可得 y随x的增大而减小时 x的取值范围．
【解答】解：选项 A中，函数 y＝x2+1，x＜0时，y随x的增大而减小；故 A不符合题意；
选项 B中，函数 y＝﹣x2+1，x＞0时，y随x的增大而减小；故 B不符合题意；
选项 C中，函数 y＝2x+1，y随x的增大而增大；故 C不符合题意；
选项 D中，函数 y＝﹣2x+1，y随x的增大而减小．故 D符合题意；
故选：D．
5．（2023•枣庄）二次函数 y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，对称轴是直线 x＝1，下列结论：①abc
＜0；②方程 ax2+bx+c＝0（a≠0）必有一个根大于 2且小于 3；③若（0，y1），（ ，y2）是抛物线上
的两点，那么 y1＜y2；④11a+2c＞0；⑤对于任意实数 m，都有 m（am+b）≥a+b，其中正确结论的个
数是（　　）
A．5 B．4 C．3 D．2
【分析】①根据函数图象分别判断 a、b、c的正负，求出 abc 的正负；
②将方程转化为函数与 x轴的交点，利用已知交点和对称轴找出另一交点的范围；
③根据二次函数图象的性质：当图象开口向上，离对称轴越近的点 y值越小；
④用a来表示改变函数解析式，根据图象，令 x＝﹣1，得到 3a+c＞0，即 6a+2c＞，因为 a＞0，所以得
出11a+2c＞0；
⑤化简不等式，用 a表示 b，根据 a＞0及不等式的性质得到只含有 m的不等式，解不等式即可．
【解答】解：①根据图象可知：a＞0，c＜0，
∵对称轴是直线 x＝1，
∴﹣＝1，即 b＝﹣2a．
∴b＜0，
∴abc＞0．
故①错误．
②方程 ax2+bx+c＝0，即为二次函数 y＝ax2+bx+c（a≠0）与 x轴的交点，
根据图象已知一个交点﹣1＜x1＜0，关于 x＝1对称，
∴另一个交点 2＜x2＜3．
故②正确．
③∵对称轴是直线 x＝1，
∴点（ ，y2）离对称轴更近，
∴y1＞y2，
故③错误．
④∵﹣＝1，
∴b＝﹣2a，
∴y＝ax22﹣ax+c，
根据图象，令 x＝﹣1，
y＝a+2a+c＝3a+c＞0，
6∴a+2c＞0，
∵a＞0，
11∴a+2c＞0，
故④正确．
⑤m（am+b）＝am2+bm＝am22﹣am≥a2﹣a，
am22﹣am≥﹣a，
即证：m22﹣m+1≥0，
m22﹣m+1＝（m1﹣）2，
∴m为任意实数，m22﹣m+1≥0 恒成立．
故⑤正确．
综上②④⑤正确，
故选：C．
6．（2023•呼和浩特）关于 x的二次函数 y＝mx26﹣mx 5﹣（m≠0）的结论：
①对于任意实数 a，都有 x1＝3+a对应的函数值与 x2＝3﹣a对应的函数值相等．
②若图象过点 A（x1，y1），点 B（x2，y2），点 C（2，﹣13），则当 x1＞x2＞ 时， ＜0．
③若3≤x≤6，对应的 y的整数值有 4个，则﹣ ＜m≤﹣或 ≤m＜ ．
④当m＞0且n≤x≤3 时，﹣14≤y≤n2+1，则 n＝1．
其中正确的结论有（　　）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【分析】①根据二次函数的对称轴为 x＝﹣ ，可得 x＝3，再由 ＝3即可判断结论①；
②将点 C（2，﹣13）代入抛物线解析式可求得 m＝1，即 y＝x26﹣x5﹣，当 x＞3时，y随x的增大而增
大．即可判断结论②；
③当x＝3时，y＝﹣5 9﹣m，当 x＝6时，y＝﹣5，根据若 3≤x≤6，对应的 y的整数值有 4个，分两种情
况：若 m＞0，则﹣9＜﹣5 9﹣m≤ 8﹣，若 m＜0，则﹣2≤ 5 9﹣ ﹣ m＜﹣1，解不等式即可判断结论③；
④当m＞0且n≤x≤3 时，y随着 x的增大而减小，由﹣14≤y≤n2+1，可得﹣5 9﹣m＝﹣14 或n26﹣n5﹣＝
n2+1，解方程即可判断结论④．
【解答】解：①二次函数 y＝mx26﹣mx 5﹣的对称轴为 x＝﹣ ＝3，
∵x1＝3+a和x2＝3﹣a关于直线 x＝3对称，
∴对于任意实数 a，都有 x1＝3+a对应的函数值与 x2＝3﹣a对应的函数值相等，
∴①符合题意；
②将点 C（2，﹣13）代入 y＝mx26﹣mx 5﹣，得﹣13＝4m12﹣m5﹣，解得 m＝1．
∴函数的解析式为 y＝x26﹣x5﹣，
当x＞3时，y随x的增大而增大．
∴当x1＞x2＞ 时，y1＞y2，
∴＞0．
∴②不符合题意；
③∵y＝mx26﹣mx 5﹣＝m（x3﹣）25 9﹣ ﹣ m，
摘要：

重难点06二次函数图象性质及其综合应用考点一：二次函数的图象与性质二次函数是中考三大函数中内容最多，考察难度最大的一个函数。而二次函数的图象更是其庞大内容的核心，初中数学中需要我们详细的掌握抛物线的画法、特征、性质、与系数的关系、几何变换等几个方面的知识，进而在多变的题型中快速找到解决它们的方法。题型01二次函数图象与性质易错点01：对于二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象：形状：抛物线；对称轴：直线x=−b2a；顶点坐标：(−b2a，4ac−b24a)；其中抛物线的顶点坐标的纵坐标与一元二次方程解法中的公式法的表达式比较相似，需要重点加以区分；易错点02：抛物线的增减性问题，由a的正...

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