重难点06 二次函数图象性质及其综合应用（原卷版）
2025-05-14
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重难点 06 二次函数图象性质及其综合应用
考点一：二次函数的图象与性质
二次函数是中考三大函数中内容最多，考察难度最大的一个函数。而二次函数的图象更是其庞大内容
的核心，初中数学中需要我们详细的掌握抛物线的画法、特征、性质、与系数的关系、几何变换等几个方
面的知识，进而在多变的题型中快速找到解决它们的方法。
题型 01 二次函数图象与性质
易错点 01：对于二次函数 y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象：
形状：抛物线； 对称轴：直线
x=− b
2a
；顶点坐标：
(− b
2a，4ac−b2
4a)
；
其中抛物线的顶点坐标的纵坐标与一元二次方程解法中的公式法的表达式比较相似，需要重点加以区分；
易错点 02：抛物线的增减性问题，由 a的正负和对称轴同时确定，单一的直接说 y随x的增大而增大
（或减小）是不对的，必须在确定 a的正负后，附加一定的自变量 x取值范围；
解题大招：对于
y=ax2+bx+c
上的各个点，
当
a＞0
时，抛物线开口向上，图象有最低点，函数有最小值，哪个点离对称轴越近，哪个点的纵坐标越
小；
当
a＜0
时，抛物线开口向下，图象有最高点，函数有最大值，哪个点离对称轴越近，哪个点的纵坐标越
大；
【中考真题练】
1．（2023•台州）抛物线 y＝ax2﹣a（a≠0）与直线 y＝kx 交于 A（x1，y1），B（x2，y2）两点，若 x1+x2＜
0，则直线 y＝ax+k一定经过（ ）
A．第一、二象限 B．第二、三象限
C．第三、四象限 D．第一、四象限
2．（2023•邵阳）已知 P1（x1，y1），P2（x2，y2）是抛物线 y＝ax2+4ax+3（a是常数，a≠0）上的点，现有
以下四个结论：①该抛物线的对称轴是直线 x＝﹣2；②点（0，3）在抛物线上；③若x1＞x2＞﹣2，
则y1＞y2；④若y1＝y2，则 x1+x2＝﹣2，其中，正确结论的个数为（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
3．（2023•扬州）已知二次函数 y＝ax22﹣x+（a为常数，且 a＞0），下列结论：①函数图象一定经过
第一、二、四象限；②函数图象一定不经过第三象限；③当x＜0时，y随x的增大而减小；④当x＞0
时，y随x的增大而增大．其中所有正确结论的序号是（ ）
A．①② B．②③ C．②D．③④
4．（2023•安徽）下列函数中，y的值随 x值的增大而减小的是（ ）
A．y＝x2+1 B．y＝﹣x2+1 C．y＝2x+1 D．y＝﹣2x+1
5．（2023•枣庄）二次函数 y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，对称轴是直线 x＝1，下列结论：①abc
＜0；②方程 ax2+bx+c＝0（a≠0）必有一个根大于 2且小于 3；③若（0，y1），（ ，y2）是抛物线上
的两点，那么 y1＜y2；④11a+2c＞0；⑤对于任意实数 m，都有 m（am+b）≥a+b，其中正确结论的个
数是（ ）
A．5 B．4 C．3 D．2
6．（2023•呼和浩特）关于 x的二次函数 y＝mx26﹣mx 5﹣（m≠0）的结论：
①对于任意实数 a，都有 x1＝3+a对应的函数值与 x2＝3﹣a对应的函数值相等．
②若图象过点 A（x1，y1），点 B（x2，y2），点 C（2，﹣13），则当 x1＞x2＞ 时， ＜0．
③若3≤x≤6，对应的 y的整数值有 4个，则﹣ ＜m≤﹣或 ≤m＜ ．
④当m＞0且n≤x≤3 时，﹣14≤y≤n2+1，则 n＝1．
其中正确的结论有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
7．（2023•福建）已知抛物线 y＝ax22﹣ax+b（a＞0）经过 A（2n+3，y1），B（n1﹣，y2）两点，若 A，B
分别位于抛物线对称轴的两侧，且 y1＜y2，则 n的取值范围是 ．
8．（2023•北京）在平面直角坐标系 xOy 中，M（x1，y1），N（x2，y2）是抛物线 y＝ax2+bx+c（a＞0）上
任意两点，设抛物线的对称轴为 x＝t．
（1）若对于 x1＝1，x2＝2，有 y1＝y2，求 t的值；
（2）若对于 0＜x1＜1，1＜x2＜2，都有 y1＜y2，求 t的取值范围．
【中考模拟练】
1．（2024•虹口区二模）已知二次函数 y＝﹣（x4﹣）2，如果函数值 y随自变量 x的增大而减小，那么 x的
取值范围是（ ）
A．x≥4 B．x≤4 C．x≥ 4﹣D．x≤ 4﹣
2．（2024•郑州模拟）已知二次函数 y＝ax2+bx（a≠0）的图象如图所示，则一次函数 y＝ax+b（a≠0）的图
象大致为（ ）
A．B．
C．D．
3．（2024•霍邱县模拟）函数 y＝kx24﹣x+3 和y＝kx﹣k（k是常数，且 k≠0）在同一平面直角坐标系中的图
象可能是（ ）
A． B．
C． D．
4．（2024•余姚市一模）已知点 A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3）在二次函数 y＝﹣x2+c（c＞0）的
图象上，点 A，C是该函数图象与正比例函数 y＝kx（k为常数且 k＞0）的图象的交点．若 x1＜0＜x2＜
x3，则 y1，y2，y3的大小关系为（ ）
A．y3＜y2＜y1B．y1＜y2＜y3C．y2＜y1＜y3D．y1＜y3＜y2
5．（2024•武威二模）已知二次函数 y＝a（x+1）（x﹣m）（a为非零常数，1＜m＜2），当 x＜﹣1时，y
随x的增大而增大，则下列结论正确的是（ ）
①若x＞2时，则 y随x的增大而减小；
②若图象经过点（0，1），则﹣1＜a＜0；
③若（﹣2023，y1），（2023，y2）是函数图象上的两点，则 y1＜y2；
④若图象上两点 ， 对一切正数 n．总有 y1＞y2，则 ．
A．①② B．①③ C．①④ D．③④
6．（2024•福田区模拟）已知函数 y＝|x24|﹣的大致图象如图所示，对于方程|x24|﹣＝m（m为实数），若
该方程恰有 3个不相等的实数根，则 m的值是 ．
7．（2024•合肥模拟）在平面直角坐标系中，G（x1，y1）为抛物线 y＝x2+4x+2 上一点，H（﹣3x1+1，y1）
为平面上一点，且位于点 G右侧．
（1）此抛物线的对称轴为直线
；
（2）若线段 GH 与抛物线 y＝x2+4x+2（﹣6≤x＜1）有两个交点，则的 x1取值范围是 ．
8．（2024•碑林区校级一模）如图，抛物线 的对称轴 l与x轴交于点 A，与 y轴交于点 B．
（1）求点 A、B的坐标；
（2）C为该抛物线上的一个动点，点 D为点 C关于直线 l的对称点（点 D在点 C的左侧），点 M在坐
标平面内，请问是否存在这样的点 C，使得四边形 ACMD 是正方形？若存在，请求出点 C的坐标；若
不存在，请说明理由．
题型 02 二次函数与几何变换
易错点：抛物线平移步骤：①将一般式转化为顶点式，
②根据“左加右减（x），上加下减（整体）”来转化平移所得函数解析式；
解题大招：
y=ax2+bx+c
的轴对称变换规律
y=ax2+bx+c
{
关于 x轴对称： y=−ax2−bx −c
关于 x轴对称： y=ax2−bx +c
关于原点对称： y=−ax2+bx−c
摘要：
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重难点06二次函数图象性质及其综合应用考点一：二次函数的图象与性质二次函数是中考三大函数中内容最多，考察难度最大的一个函数。而二次函数的图象更是其庞大内容的核心，初中数学中需要我们详细的掌握抛物线的画法、特征、性质、与系数的关系、几何变换等几个方面的知识，进而在多变的题型中快速找到解决它们的方法。题型01二次函数图象与性质易错点01：对于二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象：形状：抛物线；对称轴：直线x=−b2a；顶点坐标：(−b2a，4ac−b24a)；其中抛物线的顶点坐标的纵坐标与一元二次方程解法中的公式法的表达式比较相似，需要重点加以区分；易错点02：抛物线的增减性问题，由a的正...
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