专题02 整式与因式分解【十大题型】（举一反三）（原卷版）

2025-05-14 0 0 78.48KB 7 页 10玖币

专题 02  整式与因式分解【十大题型】
【题型 1  实际问题中的代数式】................................................................................................................................3
【题型 2  求代数式的值】............................................................................................................................................3
【题型 3  整式的加减与幂的运算】............................................................................................................................4
【题型 4  整式的乘除】................................................................................................................................................4
【题型 5  乘法公式的应用】........................................................................................................................................4
【题型 6  整式的化简求值】........................................................................................................................................5
【题型 7  提公因式法分解因式】................................................................................................................................5
【题型 8  运用公式法分解因式】................................................................................................................................6
【题型 9  数式规律探究】............................................................................................................................................6
【题型 10 数式中的新定义问题探究】.......................................................................................................................7
【知识点  整式与因式分解】
1.定义
(1)代数式：用运算符号把数或表示数的字母连接而成的式子叫做代数式。单独的一个数或一个字母也
是代数式。
(2)单项式：用数或字母的乘积表示的式子叫做单项式。单独的一个数或一个字母也是单项式。
单项式中的数字因数叫做这个单项式的系数。一个单项式中，所有字母的指数的和叫做这个单项式的
次数。
注意：单项式是由系数、字母、字母的指数构成的，其中系数不能用带分数表示；一个单项式中，所
有字母的指数的和叫做这个单项式的次数。
(3)多项式：几个单项式的和叫做多项式。其中，每个单项式叫做多项式的项，不含字母的项叫做常数
项。多项式里，次数最高项的次数，叫做这个多项式的次数。
单项式与多项式统称整式。
(4)同类项：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项叫做同类项。
(5)合并同类项：把多项式中的同类项合并成一项，叫做合并同类项。
合并同类项后，所得项的系数是合并前各同类项的系数的和，且字母连同它的指数不变。
2.整式的运算
(1)整式的加减：几个整式相加减，如有括号就先去括号，然后再合并同类项。
去括号法则：同号得正，异号得负。即括号外的因数的符号决定了括号内的符号是否改变：
如果括号外的因数是正数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相同；
如果括号外的因数是负数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相反。
(2)整式的乘除运算
① 同底数幂的乘法：am·an=am+n。同底数幂相乘，底数不变，指数相加。

② 幂的乘方：(am)n=amn。幂的乘方，底数不变，指数相乘。

③ 积的乘方：(ab)n=anbn。积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘。

④ 单项式与单项式的乘法：单项式与单项式相乘，把它们的系数、同底数幂分别相乘，对于只在一个

单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式。

⑤ 单项式与多项式的乘法：p(a+b+c)=pa+pb+pc。单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的

每一项，再把所得的积相加。

⑥ 多项式与多项式的乘法：(a+b)(p+q)=ap+aq+bp+bq。多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一

项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加。

平方差公式：(a+b)(a-b)=a2-b2。两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差。这个公式

叫做平方差公式。

完全平方公式：(a+b)2=a2+2ab+b2，(a-b)2=a2-2ab+b2。两个数的和(或差)的平方，等于它们的平方和，

加上(或减去)它们积的 2倍。这两个公式叫做完全平方公式。

⑦ 同底数幂的除法：am÷an=am-n。同底数幂相除，底数不变，指数相减。

任何不等于 0的数的 0次幂都等于 1。

⑧ 单项式与单项式的除法：单项式相除，把系数与同底数幂分别相除作为商的因式，对于只在被除式

里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式。

⑨ 多项式除以单项式：多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商

相加。

注：以上公式及法则在分式和二次根式的运算中同样适用。

(3)添括号法则

同号得正，异号得负。即括号前的符号决定了括号内各项的符号是否改变：

如果括号前面是正号，括到括号里的各项都不变符号；

如果括号前面是负号，括到括号里的各项都改变符号。

3.因式分解

定义：把一个多项式化成了几个整式的积的形式，这样的式子变形叫做这个多项式的因式分解，也叫

做把这个多项式分解因式。

以上公式都可以用来对多项式进行因式分解，因式分解的常用方法：

① 提公因式法：pa+pb+pc=p(a+b+c)；

② 公式法：a2-b2=(a+b)(a-b)；a2+2ab+b2=(a+b)2；a2-2ab+b2=(a-b)2。

③ 分组分解法：ac+ad+bc+cd=a(c+d)+b(c+d)=(a+b)(c+d)

④ 十字相乘法：a2+(p+q)a+pq=(a+p)(a+q)

因式分解的一般步骤：

（1）如果多项式的各项有公因式，那么先提取公因式。

（2）在各项提出公因式以后或各项没有公因式的情况下，观察多项式的项数：2项式可以尝试运用公

式法分解因式；3项式可以尝试运用公式法、十字相乘法分解因式；4项式及 4项式以上的可以尝试分组分

解法分解因式

（3）分解因式必须分解到每一个因式都不能再分解为止。

【题型 1 实际问题中的代数式】

【例 1】（2023·湖南长沙·统考中考真题）为落实“双减”政策，某校利用课后服务开展了主题为“书香满

校园”的读书活动．现需购买甲，乙两种读本共 100 本供学生阅读，其中甲种读本的单价为 10 元/本，乙

种读本的单价为 8元/本，设购买甲种读本 x本，则购买乙种读本的费用为（）

A．

元B．

10(100−x)

元C．

8(100−x)

元D．

(100−8x)

元

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专题02整式与因式分解【十大题型】【题型1实际问题中的代数式】................................................................................................................................3【题型2求代数式的值】....................................................................................................................................

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