专题02求最值中的几何模型（解析版）

2025-05-14 0 0 4.21MB 34 页 10玖币

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专题 02 求最值中的几何模型

题型解读｜模型构建｜通关试练

模型 01 将军饮马模型

将军饮马模型在考试中主要考查转化与化归等的数学思想，该题型综合考查学生的理解和数形结合能

力具有一定的难度，也是学生感觉有难度的题型.在解决几何最值问题主要依据是：①将军饮马作对称点；

②两点之间，线段最短； ③垂线段最短，涉及的基本知识点还有：利用轴对称变换化归到“三角形两边之

和大于第三边”、“三角形两边之差小于第三边”等；希望通过本专题的讲解让大家对这类问题有比较清

晰的认识.

模型 02 建桥选址模型

建桥选址模型，即沿一个方向平移的定长线段两端到两个定点距离和最小，解题时需要理清楚是否含

有定长平移线段，且利用平移求出最短路径位置．求解长度时若有特殊角，通常采用构造直角三角形利用

勾股定理求解的方法.该题型主要考查了在最短路径问题中的应用，涉及到的主要知识点有矩形的性质、平

行四边形的性质、等腰直角三角形的性质、勾股定理，解题的关键在于如何利用轴对称找到最短路径.

模型 03 胡不归模型

胡不归 PA+k·PB”型的最值问题：当 k等于 1时，即为“PA+PB”之和最短问题，可用我们常见的“将

军饮马”问题模型来处理，即可以转化为轴对称问题来处理.当k不等于 1时，若再以常规的轴对称思想来

解决问题，则无法进行，因此必须转换思路.此类问题的处理通常以动点 P所在图象的不同来分类，一般分

为两类研究.即点 P在直线上运动和点 P在圆上运动.其中点 P在直线上运动的类型通常为“胡不归”问题.

模型 01 将军饮马模型

考｜向｜预｜测

将军饮马模型问题该题型主要以选择、填空形式出现，综合性大题中的其中一问，难度系数较大，在

各类考试中都以中高档题为主.本题考查的是轴对称--最短路线问题、勾股定理、等边三角形的判定和

性质、含 30°角的直角三角形的性质、垂线段最短，解这类问题的关键是将所给问题抽象或转化为数

学模型，把两条线段的和转化为一条线段，属于中考选择或填空题中的压轴题.

答｜题｜技｜巧

第一步：

观察所求为横向还是纵向的线段长度（定长），将线段按照长度方向平移

第二步：同侧做对称点变异侧，异侧直接连线

第三步：

结合两点之间，线段最短；垂线段最短；三角形两边之和大于第三边等常考知识点

第四步：

利用数学的转化思想，将复杂模型变成基本模型

（1）点 A、B在直线 m两侧

两点连线，线段最短

例1．（2023·四川）如图，等边三角形的边上的高为 6，是边上的中线，M是线段上

的-一个动点，E是中点，则的最小值为．

【答案】6

【详解】解：连接 BE，与 AD 交于点 M．

∵AB=AC，AD 是BC 边上的中线，

∴B、C关于 AD 对称，则 EM+CM=EM+BM，

则BE 就是 EM+CM 的最小值．

∵E是等边△ABC 的边 AC

的

中点，AD 是中线

∴BE=AD=6，

∴EM+CM 的最小值为 6，

故答案为：6．

（2）点 A、B在直线同侧

例2.（2022·安徽）如图，在锐角△ABC 中，AB＝6，∠ABC＝60°，∠ABC 的平分线交 AC 于点 D，点

P，Q分别是 BD，AB 上的动点，则 AP＋PQ 的最小值为（）

A．6 B．6 C．3 D．3

【答案】D

【详解】解：如图，在 BC 上取 E，使 BE＝BQ，连接 PE，过 A作AH⊥BC 于H，

∵BD 是∠ABC 的平分线，∴∠ABD＝∠CBD，∵BP＝BP，BE＝BQ，∴△BPQ≌△BPE（SAS），

∴PE＝PQ，∴AP＋PQ 的最小即是 AP＋PE 最小，

当AP＋PE＝AH 时最小，在 Rt△ABH 中，AB＝6，∠ABC＝60°，

∴AH＝，∴AP＋PQ 的最小为，

故选：D．

模型 02 建桥选址模型

考｜向｜预｜测

建桥选址模型该题型也主要以选择、填空的形式出现，一般较为靠后，有一定难度，该题型主

要考查轴对称－－－最短路径问题、勾股定理、三角形及平行四边形的判定与性质，要利用

“两点之间线段最短”等，但许多实际问题没这么简单，需要我们将一些线段进行转化，即

用与它相等的线段替代，从而转化成两点之间线段最短的问题．目前，往往利用对称性、平

行四边形的相关知识进行转化．

答｜题｜技｜巧

第一步：

观察点或图形的变化规律，根据图形的变化规律求出已知关键点的坐标；

第二步：分析变化规律得到一般的规律看是否具有周期性（如点变的循环规律或点运动的循环规律，

点的横、纵坐标的变化规律等）

第三步：周期性的求最小周期看余数，不是周期性的可以罗列求解几组以便发现规律，根据最后的变

化次数或者运动时间登，确定要求的点与哪个点重合或在同一象限，或与哪个关键点的横纵

坐标相等；

第四步：

利用有理数的运算解题

（1）两个点都在直线外侧：

辅助线：连接 AB 交直线 m、n于点 P、Q，则 PA+PQ+QB 的最小值为 AB.

例1．（2022·湖北）如图，在 Rt△ABC 中，∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，AC＝2，以 BC 为边向左作等边

△BCE，点 D为AB 中点，连接 CD，点 P、Q分别为 CE、CD 上的动点．求 PD+PQ+QE 的最小值为

．

【答案】4．

【详解】如图，连接，

和都是等边三角形，，，

，垂直平分，，

同理可得：垂直平分，，，

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摘要：

专题02求最值中的几何模型题型解读｜模型构建｜通关试练模型01将军饮马模型将军饮马模型在考试中主要考查转化与化归等的数学思想，该题型综合考查学生的理解和数形结合能力具有一定的难度，也是学生感觉有难度的题型.在解决几何最值问题主要依据是：①将军饮马作对称点；②两点之间，线段最短；③垂线段最短，涉及的基本知识点还有：利用轴对称变换化归到“三角形两边之和大于第三边”、“三角形两边之差小于第三边”等；希望通过本专题的讲解让大家对这类问题有比较清晰的认识.模型02建桥选址模型建桥选址模型，即沿一个方向平移的定长线段两端到两个定点距离和最小，解题时需要理清楚是否含有定长平移线段，且利用平移求出最短路径位置...

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