专题2-4 瓜豆轨最值模型：为什么我们喜欢手拉手（直线与曲线）（原卷版）

2025-05-14 0 0 1.04MB 24 页 10玖币

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专题 2-4 瓜豆轨最值模型：为什么我们喜欢手拉手（直线与曲

线）

题型·解读

【例题 1】三种处理策略

【例题 2】饮马类瓜豆与加权线段和问题

【瓜豆圆介绍】

题型一轨迹为直线型·构造中位线求

2023·广东深圳·统考三模

题型二轨迹为直线型·构造手拉手

经典例题·宿迁中考

2023·黑龙江绥化·中考真题

2023·湖北黄冈·统考中考真题

2023·西安市交通大学附属中学初三月考

题型三轨迹为直线型·将军饮马加权线段和问题

题型四轨迹为圆弧型·构造中位线

2023·山东泰安·中考真题

题型五轨迹为圆弧型·构造手拉手

2023·四川宜宾·统考中考真题

2022 沈阳中考

2022·盐城市一模

2023·深圳外国语学校中考模拟

题型六路径相关问题

2022·山东滨州·统考中考真题

2023·海南·统考中考真题

题型七当线段最小值时求其它量

2022·广东广州·中考真题

2023·四川·广元中考真题

满分·技巧

初中阶段如遇求轨迹长度仅有 2种类型：“直线型”和“圆弧型”（两种类型中还会涉及点往返探

究“往返型”），对于两大类型该如何断定，通常老师会让学生画图寻找 3处以上的点来确定轨迹

类型进而求出答案，对于填空选择题而言不外乎是个好方法，但如果要进行说理很多考生难以解释

清楚

一、我们先来解释一下瓜豆原理：定角定比，主从联动

瓜豆原理：一个主动点，一个从动点（根据某种约束条件，跟着主动点动），当主动点运动时，从

动点的轨迹相同．

只要满足：

【例题 1】三种处理策略

如图，D、E是边长为 4 的等边三角形 ABC 上的中点，P为中线 AD 上的动点，把线段

PC 绕C点逆时针旋转 60°，得到 P’，EP’的最小值

【分析】

结合这个例题我们再来熟悉一下瓜豆模型

第一层：点 P’运动的轨迹是直线吗？

则两动点的运动轨迹是相似的，运

动轨迹长度的比和它们到定点的距

离比相同。

1、两“动”，一“定”

2、两动点与定点的连线夹角是定角

3、两动点到定点的距离比值是定值

定点

从动点

主动点

轨迹

末

始

答：是直线，可以通过 P在A，D时，即始末位置时 P’对应的位置得到直线轨迹，对于选填题，可

找出从动点的始末位置，从而快速定位轨迹，若要说理则需要构造手拉手证明.

第二层：点 P’的运动长度和点 P的运动长度相同吗？

答：因为点 P’与点 P到定点 C的距离相等，则有运动路径长度相等，若要说理则同样需要构造手

拉手结构，通过全等证明.

第三层：手拉手模型怎么构造？

答：以旋转中心 C为顶点进行构造，其实只要再找一组对应的主从点即可，简单来说就是从 P点的

轨迹即线段 AD 中再找一个点进行与 P点类似的的旋转，比如把线段 AD 中的点 A绕C点逆时针旋

转60°，即为点 B，连接 BP’即可得到一组手拉手模型，虽然前面说是任意点，但一般来说我们选

择一个特殊位置的点进行旋转后的点位置也是比较容易确定的，比如说点 D进行旋转也是比较方便．

第四层：分析∠CAP 和∠CBP’

60°

答：由全等可知∠CAP＝∠CBP’，因为 B为定点，所以得到 P’轨迹为直线 BP’

第五层：点 P和点 P’轨迹的夹角和旋转角的关系

答：不难得出本题主动点与从动点轨迹的夹角等于旋转角，要注意的是如果旋转角是钝角，那么主

动点与从动点轨迹的夹角等于旋转角的补角，这个在后面的例题中会出现.

大气层：前面提到，如果是选填题，可以通过找从动点的始末位置快速定位轨迹线段，或者通

过构造手拉手，通过全等或相似得出相等角然后得出轨迹，这两种方法都是先找出从动点

’

的轨迹，再作垂线段并求出垂线段的长得到最小值，那么还有其他方法吗？

答：还可以对关键点进行旋转来构造手拉手模型，从而代换所求线段，构造如下．

将点 EC 绕点 C顺时针旋转 60°，构造手拉手模型(SAS 全等型)，从而得到 P’E＝PG，最小值即为

点G到AD 的距离．

要注意的是因为要代换 P’E，所以 E点的旋转方式应该是从 P’P，所以是顺时针旋转，求轨迹

时的旋转方式则是 PP’，注意区分.

解析

策略一：找从动点轨迹

连接 BP’，

由旋转可得，CP＝CP’，∠P’CP＝60°，

∵△ABC 是等边三角形，

∴AC＝BC，∠ACB＝60°，

∴∠ACB＝∠PCP’，

∴△ACP≌△BCP’(SAS)，

∴∠CBP’＝∠CAP，

∵边长为 4的等边三角形 ABC 中，P是对称轴 AD 上的一个动点，

∴∠CAP＝30°，BD＝2，

∴∠CBP’＝30°，

即点 P’的运动轨迹为直线 BP’，

∴当D P’⊥B P’时，EP’最短，

此时，EP’＝+ED＝+2＝3

∴EP’的最小值是 3

策略二：反向旋转关键点构造手拉手代换所求线段

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专题2-4瓜豆轨最值模型：为什么我们喜欢手拉手（直线与曲线）01题型·解读【例题1】三种处理策略【例题2】饮马类瓜豆与加权线段和问题【瓜豆圆介绍】题型一轨迹为直线型·构造中位线求2023·广东深圳·统考三模题型二轨迹为直线型·构造手拉手经典例题·宿迁中考2023·黑龙江绥化·中考真题2023·湖北黄冈·统考中考真题2023·西安市交通大学附属中学初三月考题型三轨迹为直线型·将军饮马加权线段和问题题型四轨迹为圆弧型·构造中位线2023·山东泰安·中考真题题型五轨迹为圆弧型·构造手拉手2023·四川宜宾·统考中考真题2022沈阳中考2022·盐城市一模2023·深圳外国语学校中考模拟题型六路径相关...

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