专题2-5 最值模型之阿氏圆与胡不归（原卷版）

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专题 2-5 最值模型之阿氏圆与胡不归
知识点梳理
模块一 胡不归模型
【题型 1】胡不归模型·已有相关角直接作垂线
【题型 2】胡不归模型·构造相关角再作垂线
【题型 3】胡不归模型·取最值时对其它量进行计算
模块二 阿氏圆模型
【题型 4】点在圆外：向内取点（系数小于 1）
【题型 5】点在圆内：向外取点（系数大于 1）
【题型 6】一内一外提系数
【题型 7】隐圆型阿氏圆
知识点梳理
一、胡不归模型讲解
如图，一动点 P在直线 MN 外的运动速度为 V1，在直线 MN 上运动的速度为 V2，且 V1＜V2，A、B
为定点，点 C在直线 MN 上，确定点 C的位置使 的值最小．
V
2
V
1
M
N
C
B
A
CH=kAC
sin
=
CH
AC
=k
H
D
A
B
C
N
M
，记 ，即求 BC＋kAC 的最小值．
构造射线 AD 使得 sin∠DAN＝k，CH/AC＝k，CH＝kAC．
将问题转化为求 BC＋CH 最小值，过 B点作 BH⊥AD 交MN 于点 C，交 AD 于H点，此时 BC＋
CH 取到最小值，即 BC＋kAC 最小．
二、阿氏圆模型讲解
【模型来源】
所谓阿圆，就是动点到两定点距离之比为定值，那么动点的轨迹就是圆，这个圆，称为阿波罗尼斯
圆，简称为阿圆．其本质就是通过构造母子相似，化去比例系数，转化为两定一动将军饮马型求最
值，难点在于如何构造母子相似．
A
B
P
O
【模型建立】
如图 1 所示，⊙O 的半径为 R，点 A、B 都在⊙O 外 ，P为⊙O上一动点，已知 R＝OB，
连接 PA、PB，则当“PA＋PB”的值最小时，P 点的位置如何确定？
解决办法：如图 2，在线段 OB 上截取 OC 使 OC＝R，则可说明△BPO 与△PCO 相似，则有
PB＝PC。故本题求“PA＋PB”的最小值可以转化为“PA＋PC”的最小值，其中与 A与C为定点，
P为动点，故当 A、P、C 三点共线时，“PA＋PC”值最小。
模块一 胡不归模型
【题型 1】胡不归模型·已有相关角直接作垂线
2023·西安·二模
1．如图，在菱形
ABCD
中，
60ABC  
，
6AD
，对角线
AC
、
BD
相交于点
O
，点
E
在线段
AC
上，且
2AE
，点
F
为线段
BD
上的一个动点，则
EF
1
2
BF
的最小值为 ．
2023·保定·一模
2．如图，在矩形
ABCD
中，对角线
AC BD，
交于点 O，
3AB OB 
，点 M在线段
AC
上，且
2AM
．点 P为线段
OB
上的一个动点．
（1）
OBC 
°；
（2）
1
2
MP PB
的最小值为 ．
2023·湘西·中考真题
3．如图，
O
是等边三角形
ABC
的外接圆，其半径为 4．过点 B作
BE AC
于点 E，点 P为线段
BE
上一动点（点 P不与 B，E重合），则
1
2
CP BP
的最小值为 ．
4．如图，
AB AC
，
 
0 15A，
，C（1，0），D为射线 AO 上一点，一动点 P从A出发，运动路
径为
ADC 
，在 AD 上的速度为 4个单位/秒，在 CD 上的速度为 1个单位/秒，则整个运动时
间最少时，D的坐标为 ．
2023·江苏宿迁中考模拟
5．如图，二次函数 与 x轴交于点 A，B，对称轴为直线 l，顶点 C到x轴的距离为
．点 P为直线 l上一动点，另一点从 C出发，先以每秒 2个单位长度的速度沿 运动到
摘要：

专题2-5最值模型之阿氏圆与胡不归知识点梳理模块一胡不归模型【题型1】胡不归模型·已有相关角直接作垂线【题型2】胡不归模型·构造相关角再作垂线【题型3】胡不归模型·取最值时对其它量进行计算模块二阿氏圆模型【题型4】点在圆外：向内取点（系数小于1）【题型5】点在圆内：向外取点（系数大于1）【题型6】一内一外提系数【题型7】隐圆型阿氏圆知识点梳理一、胡不归模型讲解如图，一动点P在直线MN外的运动速度为V1，在直线MN上运动的速度为V2，且V1＜V2，A、B为定点，点C在直线MN上，确定点C的位置使的值最小．V2V1MNCBACH=kACsinα=CHAC=kHDαABCNM，记，即求BC＋kAC的...

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