专题15 二次函数的图像与性质【十大题型】（举一反三）（原卷版）

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专题 15 二次函数的图像与性质【十大题型】
【题型 1 根据二次函数解析式判断其性质】...........................................................................................................3
【题型 2 二次函数 y=ax2+bx+c 的图象和性质】......................................................................................................4
【题型 3 二次函数平移变换问题】............................................................................................................................5
【题型 4 根据二次函数的对称性求字母的取值范围】...........................................................................................6
【题型 5 根据二次函数的性质求最值】....................................................................................................................6
【题型 6 根据二次函数的最值求字母的取值范围】...............................................................................................7
【题型 7 根据二次函数自变量的情况求函数值的取值范围】...............................................................................7
【题型 8 根据二次函数的增减性求字母的取值范围】...........................................................................................8
【题型 9 二次函数图象与各项系数符号】................................................................................................................8
【题型 10 二次函数与三角形相结合的应用方法】................................................................................................11
【知识点 二次函数的图像与性质】
1.定义：一般的，形如 y=ax2+bx+c(a.b.c是常数，a≠0)的函数叫做二次函数。其中 x是自变量，a.b.c分别是
函数解析式的二次项系数.一次项系数.常数项。
二次函数解析式的表示方法
(1)一般式：y＝ax2＋bx＋c(其中 a，b，c是常数，a≠0)；
(2)顶点式：y ＝ a ( x － h ) 2
＋ k ( a ≠ 0) ，
它直接显示二次函数的顶点坐标是( h ， k ) ；
(3)交点式：y＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)，
其中 x1，x2是图象与 x轴交点的横坐标 ．
注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只
有抛物线与 轴有交点，即 时，抛物线的解析式才可以用交点式表示．二次函数解析式
的这三种形式可以互化.
2.二次函数的图象是一条抛物线。当 a＞0时，抛物线开口向上；当 a＜0时，抛物线开口向下。|a|越大，
抛物线的开口越小；|a|越小，抛物线的开口越大。
y=ax2y=ax2+ky=a(x-h)2y=a(x-h)2+ky=ax2+bx+c
对称轴 y轴y轴x=h x=h
顶点
(0，0) (0，k) (h，0) (h，k)
a>0 时，顶点是最低点，此时 y有最小值；a<0 时，顶点是最高点，此时 y有最大
值。 最小值(或最大值)为 0(k或 )。
增
减
性
a>0
x<0(h或 )时，y随x的增大而减小；x>0(h或 )时，y随x的增大而增
大。
即在对称轴的左边，y随x的增大而减小；在对称轴的右边，y随x的增大而增
大。
a<0
x<0(h或 )时，y随x的增大而增大；x>0(h或 )时，y随x的增大而减
小。
即在对称轴的左边，y随x的增大而增大；在对称轴的右边，y随x的增大而减
小。
3.二次函数的平移：
方法一：在原有函数的基础上“ 值正右移，负左移； 值正上移，负下移”．
概括成八个字“左加右减，上加下减”．
任意抛物线 y＝a(x－h)2＋k可以由抛物线 y＝ax2经过平移得到，具体平移方法如下：
方法二：
⑴ 沿 轴平移:向上（下）平移 个单位， 变成
（或 ）
⑵ 沿 x轴平移：向左（右）平移 个单位， 变成
（或 ）
4.二次函数的图象与各项系数之间的关系
1.a决定了抛物线开口的大小和方向，a的正负决定开口方向， 的大小决定开口的大小．
2.b的符号的判定：对称轴 在 轴左边则 ，在 轴的右侧则 ，概括的说就是“左同
右异”
3.c决定了抛物线与 轴交点的位置
字母的符号 图象的特征
aa＞0开口向上
a＜0开口向下
b
b＝0对称轴为 y轴
ab＞0(a与b同号)对称轴在 y轴左侧
ab＜0(a与b异号)对称轴在 y轴右侧
c
c＝0经过原点
c＞0与y轴正半轴相交
c＜0与y轴负半轴相交
5.二次函数与一元二次方程之间的关系
判别式情况 b2－4ac＞0b2－4ac＝0b2－4ac＜0
二次函数 y＝
ax2＋bx＋
c(a
≠
0)与x轴
的交点
a＞0
a＜0
一元二次方程 ax2＋bx
＋c＝0的实数根
有两个不相等
的实数根 x1，x2
有两个相等的
实数根 x1＝x2
没有实数根
当b2－4ac＜0时
当 时，图象落在 轴的上方，无论 为任何实数，都有 ；
摘要：

专题15二次函数的图像与性质【十大题型】【题型1根据二次函数解析式判断其性质】...........................................................................................................3【题型2二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质】......................................................................................................4【题型3二次函数平移变换问题】.............

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