专题22 直角三角形【十六大题型】（举一反三）（原卷版）

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专题 22 直角三角形【十六大题型】
【题型 1 由直角三角形的性质求解】........................................................................................................................3
【题型 2 根据已知条件判定直角三角形】................................................................................................................4
【题型 3 利用勾股定理求解】....................................................................................................................................5
【题型 4 判断勾股数问题】........................................................................................................................................5
【题型 5 勾股定理与网格问题】................................................................................................................................6
【题型 6 利用勾股定理解决折叠问题】....................................................................................................................8
【题型 7 勾股定理与无理数】....................................................................................................................................9
【题型 8 利用勾股定理证明线段的平方关系】.....................................................................................................10
【题型 9 勾股定理的证明方法】..............................................................................................................................12
【题型 10 以弦图为背景的计算】.............................................................................................................................13
【题型 11 利用勾股定理构造图形解决问题】........................................................................................................14
【题型 12 利用勾股定理解决实际问题】.................................................................................................................15
【题型 13 在网格中判定直角三角形】.....................................................................................................................17
【题型 14 利用勾股定理逆定理求解】.....................................................................................................................18
【题型 15 图形上与已知两点构成直角三角形的点】............................................................................................19
【题型 16 用勾股定理解决实际生活问题】............................................................................................................20
【知识点 直角三角形】
1.直角三角形的性质与判定
直角三角形的定义：有一个角是直角的三角形叫做直角三角形．
直角三角形的性质：1）直角三角形两个锐角互余.
2）直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.
3）在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半.
直角三角形的判定：1）两个内角互余的三角形是直角三角形.
2）有一个角是直角的三角形叫做直角三角形．
3）勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长 a，b，c有关系 a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三
角形。
面积公式：S=
1
2ab=1
2cm
(其中：c为斜边上的高，m为斜边长)
a
b
m
c
2. 勾股定理
勾股定理的概念：如果直角三角形的两直角边分别为
a
，
，斜边为
c
，那么
a2+b2=c2
.
变式：
a2=c2−b2
，
b2=c2−a2
，
c=
√
a2+b2
,
a=
√
c2−b2
,
b=
√
c2−b2
.
勾股定理的证明方法（常见）：
方法一（图一）：
4SΔ+S正方形 EFGH=S正方形 ABCD
，
4×1
2ab+¿
，化简可证．
方法二（图二）：四个直角三角形的面积与小正方形面积的和等于大正方形的面积．
四个直角三角形的面积与小正方形面积的和为
S=4×1
2ab+c2=2ab+c2
大正方形面积为
S=¿
，所以
a2+b2=c2
方法三（图三）：
S梯形=1
2(a+b)⋅(a+b)
，
S梯形=2SΔADE +SΔABE=2⋅1
2ab+1
2c2
，化简得证
a2+b2=c2
c
b
a
H
G
F
E
D
C
B
A
b
a
c
b
a
c
c
a
b
c
a
b
a
b
c
c
b
a
E
D
C
B
A
图一 图二 图三
勾股数概念：能够构成直角三角形的三边长的三个正整数称为勾股数，即
a2+b2=c2
中，
a
，
b
，
c
为正整数
时，称
a
，
b
，
c
为一组勾股数.
常见的勾股数：如
3,4,5
；
6,8,10
；
5,12,13
；
7,24,25
等.
判断勾股数的方法：1）确定是三个正整数 a，b，c；
2）确定最大的数 c；
3）计算较小的两个数的平方
a2+b2
是否等于
c2
.
3.勾股定理的逆定理
如果三角形三边长
，
b
，
c
满足
a2+b2=c2
，那么这个三角形是直角三角形，其中
c
为斜边.
【题型 1 由直角三角形的性质求解】
【例 1】（2023·内蒙古包头·包头市第三十五中学校考三模）如图，在正方形
ABCD
中，点 E、F分别在边
CD , BC
上，且
DE=CF
，连接
AE , DF , DG
平分
∠ADF
交
AB
于点 G，若
∠AED=70 °
，则
∠AGD
的
度数为 ．
【变式 1-1】（2023·北京平谷·统考一模）如图，
Rt △ABC
中，
∠ACB=90 °
，
CD ⊥AB
于点 D，则下
列结论不一定成立的是（ ）
A．
∠1+∠2=90°
B．
∠1=30 °
C．
∠1=∠4
D．
∠2=∠3
【变式 1-2】（2023·江苏镇江·统考二模）如图，分别以
△ABC
的边
AC
和
AB
向外作等腰
Rt △ACE
和等
腰
Rt △ABD
，点 M、N分别是
BC
、
CE
中点，若
MN =2
√
3
，则四边形
BCED
的面积为 ．
【变式 1-3】（2023·河南信阳·二模）【阅读理解】如图
1
，小明把一副三角板直角顶点
O
重叠在一起
．
如
图
2
固定三角板
AOB
，将三角板
COD
绕点
O
以每秒
15 °
的速度顺时针旋转，旋转时间为
t
秒，当
OD
边与
OB
边重合时停止转动．
【解决问题】
(1)在旋转过程中，请填出
∠AOC
、
∠BOD
之间的数量关系______；
(2)当运动时间为
9
秒时，图中有角平分线吗？找出并说明理由；
(3)当
∠AOC 、∠AOB
、
∠BOC
中一个角的度数是另一个角的两倍时，则称射线
OC
是
∠AOB
的“优
线”，请直接写出所有满足条件的
t
值．
【题型 2 根据已知条件判定直角三角形】
【例 2】（2023·福建漳州·统考一模）在下列条件中：①
∠A+∠B=∠C
，②
∠A:∠B:∠C=1 :5:6
，
③
∠A=90 °−∠B
，④
∠A=∠B=∠C
中，能确定
△ABC
是直角三角形的条件有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【变式 2-1】（2023·陕西西安·一模）如图，已知锐角三角形
ABC
，用尺规作图法在
BC
上作一点
P
，使得
∠B+∠PAB=90 °
．（保留作图痕迹，不写作法）
【变式 2-2】（2023·湖北武汉·校考模拟预测）如图，
⊙O
经过
△ABC
的顶点
A
，
C
及
AB
的中点
D
，且
D
是
´
AC
的中点．
(1)求证：
△ABC
是直角三角形；
(2)若
⊙O
的半径为
1
，求
A B2:BC
的值．
【变式 2-3】（2023·湖南邵阳·统考一模）如图，已知抛物线经过原点 O，顶点为
A
(
1，1
)
，且与直线
y=x−2
交于
B，C
两点．
(1)求抛物线的解析式及点 C的坐标；
(2)求证：
△ABC
是直角三角形；
(3)若点 N为x轴上的一个动点，过点 N作
MN ⊥x
轴与抛物线交于点 M，则是否存在以
O，M，N
为顶
点的三角形与
△ABC
相似？若存在，请求出点 N的坐标；若不存在，请说明理由．
【题型 3 利用勾股定理求解】
【例 3】（2023·广东·模拟预测）如图，在矩形
ABCD
中，
AB=4
，
BC=6
，
O
是矩形的对称中心，点
E
、
F
分别在边
AD
、
BC
上，连接
OE
、
OF
，若
AE=BF=2
，则
OE +OF
的值为（ ）
A．
2
√
2
B．
5
√
2
C．
√
5
D．
2
√
5
【变式 3-1】（2023·河北保定·统考二模）在平面直角坐标系中，点
A
(
1,2
)
, B
(
−3, b
)
，当线段
AB
最短时，
b
的值为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．0
【变式 3-2】（2023 上·辽宁沈阳·八年级校联考阶段练习）如图，四边形 ABCD 的对角线
AC ，BD
交于点
O．若
AC ⊥BD
，
AB=4
，
CD=
√
5
，则
BC2+A D2=¿
．
【变式 3-3】（2023·河南濮阳·统考三模）如图，在
△ABD
中，
∠BAD=90 °
，
AB=2
，
AD=2
√
3
，将
AB
绕点
A
逆时针旋转
α
度
(0<α<90)
，得到
AP
，当
△ADP
是等腰三角形时，点
P
到
AD
的距离为 ．
摘要：

专题22直角三角形【十六大题型】【题型1由直角三角形的性质求解】........................................................................................................................3【题型2根据已知条件判定直角三角形】................................................................................................................4【题型3利用勾股定理求解】......

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