专题27 矩形的性质与判定【十四大题型】（举一反三）（原卷版）

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专题 27 矩形的性质与判定【十四大题型】
【题型 1 利用矩形的性质求角度、线段长、面积、坐标】...................................................................................2
【题型 2 矩形的判定定理的理解】............................................................................................................................3
【题型 3 根据矩形的性质与判定求角度】................................................................................................................4
【题型 4 根据矩形的性质与判定求面积】................................................................................................................5
【题型 5 根据矩形的性质与判定求线段长】...........................................................................................................6
【题型 6 根据矩形的性质与判定求最值】................................................................................................................7
【题型 7 与矩形有关的新定义问题】........................................................................................................................8
【题型 8 根据矩形的性质与判定解决多结论问题】...............................................................................................9
【题型 9 与矩形有关的规律探究问题】..................................................................................................................11
【题型 10 矩形有关的动点问题】.............................................................................................................................12
【题型 11 与矩形有关的折叠问题】.........................................................................................................................13
【题型 12 矩形与一次函数综合】.............................................................................................................................15
【题型 13 矩形与反比例函数综合】.........................................................................................................................16
【题型 14 矩形与二次函数综合】.............................................................................................................................18
【知识点 矩形的性质与判定】
矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形.
矩形的性质：1）矩形具有平行四边形的所有性质；
2）矩形的四个角都是直角；
3）对角线互相平分且相等；
4）矩形既是中心对称图形，也是轴对称图形.矩形的对称中心是矩形对角线的交点；矩形有
两条对称轴，矩形的对称轴是过矩形对边中点的直线；矩形的对称轴过矩形的对称中心.
【推论】1）在直角三角形中斜边的中线，等于斜边的一半.
2）直角三角形中，30 度角所对应的直角边等于斜边的一半.
矩形的判定：1) 有一个角是直角的平行四边形是矩形；
2）对角线相等的平行四边形是矩形；
3）有三个角是直角的四边形是矩形.
【解题思路】要证明一个四边形是矩形，首先要判断四边形是否为平行四边形，若是，则需要再证明对角
线相等或有一个角是直角；若不易判断，则可通过证明有三个角是直角来直接证明．
【题型 1 利用矩形的性质求角度、线段长、面积、坐标】
【例 1】（2023·广东江门·统考二模）如图，在矩形
ABCD
中，对角线
AC
与
BD
相交于点
O
，已知
∠BAC =35°
，则
∠BOC
的度数是（ ）
A．
65 °
B．
C．
75 °
D．
80 °
【变式 1-1】（2023·甘肃武威·统考三模）如图，矩形
ABCD
的对角线相交于点 O，过点 O的直线交
AD
，
BC
于点 E，F，若
AB=3
，
BC=4
，则图中阴影部分的面积为 ．
【变式 1-2】（2023·江苏南通·统考二模）如图，矩形
ABCD
中，点
E
，点
F
分别在边
AB , BC
上，线段
AF
与线段
DE
相交于点
G
，若
AB=4, BC =6, AE=BF=3
，则
FG
的长度为 ．
【变式 1-3】（2023·天津河东·统考二模）如图，在平面直角坐标系中，矩形
ABCD
的顶点 A在第一象限，
B，D分别在 y轴上，O是
BD
的中点.若
AB=OB=2
√
3
，则点 C的坐标是（ ）
A．（3，
√
3
）B．
(
−3 ,−
√
3
)
C．
¿
，3）D．
(−
√
3,−3)
【题型 2 矩形的判定定理的理解】
【例 2】（2023·上海·统考中考真题）在四边形
ABCD
中，
AD∥BC , AB=CD
．下列说法能使四边形
ABCD
为矩形的是（ ）
A．
AB∥CD
B．
AD=BC
C．
∠A=∠B
D．
∠A=∠D
【变式 2-1】（2023·山东青岛·统考三模）如图，
△ABC
和
△ACF
都是等边三角形，
AE
、
FD
分别是
BC
、
AC
边上的中线，连接
ED
并延长交
AF
于
G
，连接
CG
．
(1)求证：
△ADG ≌△CDE
；
(2)求证：四边形
AECG
是矩形．
【变式 2-2】（2023·北京·统考中考真题）如图，在
▱ABCD
中，点 E，F分别在
BC
，
AD
上，
BE=DF
，
AC=EF
．
(1)求证：四边形
AECF
是矩形；
(2)
AE=BE
，
AB=2
，
tan∠ACB=1
2
，求
BC
的长．
【变式 2-3】（2023·湖南岳阳·模拟预测）如图所示，
△ABC
中，
D
是
BC
中点，过点
A
作
BC
的平行线交
CE
的延长线于
F
，且
AF=BD
，连接
BF
．请从以下三个条件：①
AB=AC
；②
FB=AD
；③
E
是
AD
的
中点，选择一个合适作为已知条件，使四边形
AFBD
为矩形．
(1)你添加的条件是 ；（填序号）
(2)添加条件后，请证明四边形
AFBD
为矩形．
【题型 3 根据矩形的性质与判定求角度】
【例 3】（2023·河北承德·统考二模）如图，在
▱ABCD
中，对角线
AC
、
BD
相交于点 O，且
OA=OD , ∠OAD=55 °
，则
∠OAB
的度数为（ ）
A．
35 °
B．
40 °
C．
45 °
D．
50 °
【变式 3-1】（2023·吉林·吉林省第二实验学校校考模拟预测）概念提出
若四边形的一条对角线把四边形分成两个等腰三角形，则这条对角线叫做这个四边形的“巧分线”，这个
四边形叫“巧妙四边形”，若一个四边形有两条巧分线，则称为“绝妙四边形”．
(1)下列四边形一定是巧妙四边形的是　 　；（填序号）
① 平行四边形；②矩形；③菱形；④正方形．
(2)初步应用
在绝妙四边形 ABCD 中，AC 垂直平分 BD，若∠BAD＝80°，求∠BCD 的度数．
(3)深入研究
在巧妙四边形 ABCD 中，AB＝AD＝CD，∠A＝90°，AC 是四边形 ABCD 的巧分线，请直接写出∠BCD 的
度数．
【变式 3-2】（2023·河南新乡·统考一模）如图，在
Rt △ABC
中，
∠C=90 °
，
AC=2
，
∠B=30 °
，点
D、E分别在边
BC
、
AB
上，
BD=2
，
DE ∥AC
，将
△BDE
绕点 B旋转，点 D、E旋转后的对应点分别是
D'
、
E'
，当 A、
D'
、
E'
三点共线时，
∠EB E'
的度数为 ．
【变式 3-3】（2023·福建厦门·统考模拟预测）如图，
AC
是
⊙O
的直径，点 B，D在
⊙O
上，
AD=BC
．
(1)在
´
CD
上求作一点 E，使得
∠AED=∠CDE
；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）
(2)在（1）的条件下，连接
DE
，
CE
，
AE
，若
∠ECA=2∠CAB
，求
∠CAB
的大小．
【题型 4 根据矩形的性质与判定求面积】
【例 4】（2023·山东威海·统考中考真题）如图，在平行四边形
ABCD
中，
AD=3
，
CD=2
．连接 AC，过
点B作
BE // AC
，交 DC 的延长线于点 E，连接 AE，交 BC 于点 F．若
∠AFC =2∠D
，则四边形 ABEC
的面积为（ ）
A．
√
5
B．
2
√
5
C．6 D．
2
√
13
【变式 4-1】（2023·广西梧州·统考中考真题）如图，在 Rt△ABC 中，点 D，E，F分别是边 AB，AC，BC
的中点，AC＝8，BC＝6，则四边形 CEDF 的面积是（　　）
摘要：

专题27矩形的性质与判定【十四大题型】【题型1利用矩形的性质求角度、线段长、面积、坐标】...................................................................................2【题型2矩形的判定定理的理解】............................................................................................................................3【题型3根据矩形的性质与判定求角度】.................

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