专题31 圆的基本性质【二十个题型】（举一反三）（原卷版）

2025-05-14 0 0 2.32MB 30 页 10玖币
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专题 31 圆的基本性质【二十个题型】
【题型 1 圆的周长与面积相关计算】........................................................................................................................1
【题型 2 圆中的角度、线段长度计算】....................................................................................................................3
【题型 3 求一点到圆上一点的距离最值】................................................................................................................5
【题型 4 利用垂径定理结合全等、相似综合求解】...............................................................................................6
【题型 5 在坐标系中利用垂径定理求值或坐标】...................................................................................................7
【题型 6 垂径定理在格点中的应用】........................................................................................................................8
【题型 7 垂径定理的实际应用】..............................................................................................................................10
【题型 8 利用垂径定理求取值范围】......................................................................................................................12
【题型 9 利用弧、弦、圆心角关系求角度、线段长、周长、面积、弧的度数】.............................................13
【题型 10 利用弧、弦、圆心角关系比较大小】....................................................................................................14
【题型 11 利用弧、弦、圆心角关系求最值】.........................................................................................................15
【题型 12 利用弧、弦、圆心角关系证明】............................................................................................................16
【题型 13 利用圆周角定理求解】.............................................................................................................................18
【题型 14 利用圆内接四边形求角度】.....................................................................................................................19
【题型 15 利用圆的有关性质解决翻折问题】........................................................................................................21
【题型 16 利用圆的有关性质解决最值问题】........................................................................................................22
【题型 17 利用圆的有关性质求取值范围】............................................................................................................24
【题型 18 利用圆的有关性质解决多结论问题】....................................................................................................25
【题型 19 圆有关的常见辅助线-遇到弦时, 常添加弦心距】.................................................................................27
【题型 20 圆有关的常见辅助线-遇到有直径时, 常添加（画）直径所对的圆周角】.........................................28
【知识点 圆的基本性质】
1.圆
在一个平面内，线段 OA 绕它固定的一个端点 O旋转一周，另一个端点 A所形成的图形叫做圆。固定
的端点 O叫做圆心，线段 OA 叫做半径，以点 O为圆心的圆，记作⊙O，读作“圆 O”。
连接圆上任意两点的线段叫做弦。经过圆心的弦叫做直径。
圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧。圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧
都叫做半圆。小于半圆的弧叫做劣弧。大于半圆的弧叫做优弧。
能够重合的两个圆叫做等圆。
在同圆或等圆中，能重合的弧叫等弧。
2.垂径定理
垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧。
推论：平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；
弦的垂直平分线过圆心，且平分弦对的两条弧．
3.弧.弦.圆心角之间的关系
定义：顶点在圆心的角叫做圆心角。
在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等。
在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弦相等；
在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弧相等。
注：在同圆或等圆中，如果两个圆心角，两条弦，两条弧.两个弦的弦心距中，有一组量相等，那么其
余各组量也分别相等
4.圆周角
定义：顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫圆周角。
圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。
推论 1：同弧或等弧所对的圆周角相等。
推论 2：半圆(或直径)所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径。
圆内接四边形的性质：圆内接四边形的对角互补。
【题型 1 圆的周长与面积相关计算】
【例 1】（2023·福建泉州·南安市实验中学校考二模）适时的休闲可以缓解学习压力，如图是火影忍者中的
仙法·白激之术，其形状外围大致为正圆，整体可看成为两个同心圆，
BC=400
像素，
∠ABC=90 °
，那
么周围圆环面积约为（ ）
A．
40000 π
B．
1600 π
C．
64000 π
D．
160000 π
【变式 1-1】（2023·山东德州·统考二模）《墨子·天文志》记载：“执规矩，以度天下之方圆．”度方知
圆，感悟数学之美．如图，正方形
ABCD
的面积为 2，以它的对角线的交点为位似中心，作它的位似图形
，若
A'B':AB=2: 1
，则四边形
A'B'C'D'
的外接圆的周长为 ．
【变式 1-2】（2023·山东潍坊·中考真题）《墨子·天文志》记载：“执规矩，以度天下之方圆．”度方知
圆，感悟数学之美．如图，正方形
ABCD
的面积为 4，以它的对角线的交点为位似中心，作它的位似图形
，若
A'B':AB=2:1
，则四边形
A'B'C'D'
的外接圆的周长为 ．
【变式 1-3】（2023·湖北武汉·华中科技大学附属中学校考模拟预测）如图，一个较大的圆内有 15 个半径
为1的小圆，所有的交点都为切点，图中阴影为大圆内但在所有小圆外部分，则阴影部分的面积为（　
　）
A．
22+16
√
3
3π
B．
20+16
√
3
3π
C．
22+14
√
3
3π
D．
20+14
√
3
3π
【题型 2 圆中的角度、线段长度计算】
【例 2】（2023·广东清远·统考二模）如图，在边长为 4正方形
ABCD
中，点 E在以 B为圆心的弧
AC
上，
射线
DE
交
AB
于F，连接
CE
，若
CE ⊥DF
，则
DE=¿
（　　）．
A．2 B．
4
5
√
5
C．
6
5
√
5
D．
8
5
√
5
【变式 2-1】（2023·江苏南京·统考二模）如图，在
⊙O
中，C是
´
AB
上一点，
OA ⊥OB
，过点 C作弦
CD
交
OB
于E，若
OA=DE
，则
∠C
与
∠AOC
满足的数量关系是（ ）
A．
∠C=1
3∠AOC
B．
∠C=1
2∠AOC
C．
∠C=2
3∠AOC
D．
∠C=3
4∠AOC
【变式 2-2】（2023·湖南益阳·统考二模）如图，在
Rt △ABC
中，
∠C=90 °
，点 D在斜边
AB
上，以
BD
为直径的
⊙O
经过边
AC
上的点 E，连接
BE
，且
BE
平分
∠ABC
，若
⊙O
的半径为 3，
AD=2
，则线段
BC
的长为（ ）
A．
40
3
B．8 C．
24
5
D．6
【变式 2-3】（2023·吉林长春·统考一模）如图，点 P是
⊙O
外一点，分别以 O、P为圆心，大于
1
2OP
长
为半径作圆弧，两弧相交于点 M和点 N，直线
MN
交
OP
于点 C，再以点 C为圆心，以
OC
长为半径作圆弧，
交
⊙O
于点 A，连接
PA
交
MN
于点 B，连接
OA 、OB
．若
∠P=26 °
，则
∠AOB
的大小为（ ）
A．
26 °
B．
38 °
C．
52 °
D．
64 °
【题型 3 求一点到圆上一点的距离最值】
【例 3】（2023·江苏宿迁·统考中考真题）在同一平面内，已知
⊙O
的半径为 2，圆心 O到直线 l的距离为
3，点 P为圆上的一个动点，则点 P到直线 l的最大距离是（ ）
A．2 B．5 C．6 D．8
【变式 3-1】（2023·广东茂名·统考二模）如图，在
Rt △ABC
，
∠ACB=90 °
，E为
AC
边上的任意一点，
把
△BCE
沿
BE
折叠，得到
△BFE
，连接
AF
．若
BC=6, AC=8
，则
AF
的最小值为 ．
【变式 3-2】（2023·湖南永州·校考三模）我们知道，两点之间线段最短，因此，连接两点间线段的长度叫
做两点间的距离；同理，连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短，因此，直线外一点到
这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离．类似地，连接曲线外一点与曲线上各点的所有线段中，
最短线段的长度，叫做点到曲线的距离．依此定义，如图，在平面直角坐标系中，点
A
(
2,1
)
到以原点为圆
心，以 1为半径的圆的最短距离为 ．最长距离为 ．
摘要：

专题31圆的基本性质【二十个题型】【题型1圆的周长与面积相关计算】........................................................................................................................1【题型2圆中的角度、线段长度计算】....................................................................................................................3【题型3求一点到圆上一点...

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