专题32 与圆有关的位置关系【十六大题型】（举一反三）（原卷）

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专题 32 与圆有关的位置关系【十六大题型】
【题型 1 点和圆的位置关系】....................................................................................................................................5
【题型 2 直线与圆的位置关系】................................................................................................................................6
【题型 3 求平移到与直线相切时圆心坐标或运动距离】.......................................................................................7
【题型 4 根据直线与圆的位置关系求交点个数】...................................................................................................8
【题型 5 判断或补全使直线成为切线的条件】.......................................................................................................9
【题型 6 利用切线的性质求值】..............................................................................................................................11
【题型 7 证明某条直线是圆的切线】......................................................................................................................12
【题型 8 利用切线的性质定理证明】......................................................................................................................14
【题型 9 切线的性质与判定的综合运用】..............................................................................................................15
【题型 10 作圆的切线】.............................................................................................................................................17
【题型 11 应用切线长定理求解或证明】.................................................................................................................18
【题型 12 由外心的位置判断三角形形状】............................................................................................................20
【题型 13 求三角形外接圆的半径、外心坐标】....................................................................................................20
【题型 14 由三角形的内切圆求值】.........................................................................................................................22
【题型 15 与三角形内心有关的应用】.....................................................................................................................23
【题型 16 三角形外接圆与内切圆综合】.................................................................................................................25
【知识点 与圆有关的位置关系】
1.点和圆的位置关系
设⊙O的半径为 r，点 P到圆心的距离为 OP=d，则有：
点P在圆外 d＞r ；
点P在圆上 d=r ；
点P在圆内 d＜r 。
性质：不在同一条直线上的三个点确定一个圆。
定义：经过三角形的三个顶点可以作一个圆，这个圆叫做三角形的外接圆。外接圆的圆心是三角形三
条边的垂直平分线的交点，叫做这个三角形的外心。
2.直线和圆的位置关系
直线和圆有两个公共点时，我们说这条直线和圆相交。这条直线叫做圆的割线。
直线和圆只有一个公共点时，我们说这条直线和圆相切。这条直线叫做圆的切线，这个点叫做切点。
直线和圆没有公共点时，我们说这条直线和圆相离。
设⊙O的半径为 r，圆心 O到直线 l的距离 d，则有：
直线 l和⊙O相交 d＜r ；
直线 l和⊙O相切 d=r ；
直线 l和⊙O相离 d＞r 。
切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。
切线的性质定理：圆的切线垂直于过切点的半径。
经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间线段的长，叫做这点到圆的切线长。
切线长定理：从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的
夹角。
与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆。内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点，叫做三角形
的内心。
【题型 1 点和圆的位置关系】
【例 1】（2023·上海闵行·校联考模拟预测）矩形
ABCD
中，
AB=8
，
BC=3
√
5
，点
P
在边
AB
上，且
BP=3AP
，如果圆
P
是以点
为圆心，
PD
为半径的圆，那么下列判断正确的是（ ）
A．点
B
，
C
均在圆
P
外B．点
B
在圆
P
外，点
C
在圆
P
内
C．点
B
在圆
P
内，点
C
在圆
P
外D．点
B
，
C
均在圆
P
内
【变式 1-1】（2023·四川凉山·统考模拟预测）在
Rt △ABC
中，
∠C=90 °
，
BC=3
，
AC=4
，D为
AB
的中点．以 A为圆心，r为半径作⊙A，若 B、C、D三点中只有一点在
⊙A
内，则
⊙A
的半径 r的取值范
围是（ ）
A．
2.5<r ≤ 4
B．
2.5<r<4
C．
2.5 ≤ r ≤ 4
D．
2.5 ≤ r <4
【变式 1-2】（2023·四川成都·统考二模）已知
P
是
⊙O
内一点（点
P
不与圆心
O
重合），点
P
到圆上各点
的距离中，最小距离与最大距离是关于
x
的一元二次方程
a x2−12 ax−20=0
的两个实数根，则
⊙O
的直
径为 ．
【变式 1-3】（2023·江苏扬州·统考一模）如图，矩形 ABCD 中，
AB=3
，
BC=4
，点 P是平面内一点，
以P、B、C为顶点的三角形是等腰三角形，则 PD 的最小值为（ ）
A．
4
5
B．1 C．
7
5
D．2.5
【题型 2 直线与圆的位置关系】
【例 2】（2023·河北秦皇岛·模拟预测）如图，已知
∠ACB=30 °
，
CM =2
，
AM =5
，以
M
为圆心，
r
为
半径作
⊙M
，
⊙M
与线段
AC
有交点时，则
r
的取值范围是 ．
【变式 2-1】（2023·上海青浦·统考二模）如图，在直角梯形
ABCD
中，
AD ∥BC , ∠A=90 °
，E是
AD
上一定点，
AB=3, BC=6, AD=8, AE=2
．点 P是BC 上一个动点，以 P为圆心，PC 为半径作⊙P．若
⊙P与以 E为圆心，1为半径的⊙E有公共点，且⊙P与线段 AD 只有一个交点，则 PC 长度的取值范围是
．
【变式 2-2】（2023·河北秦皇岛·统考模拟预测）如图，线段
BC=16 cm
，过点 B在线段
BC
的上方作射线
BA
，且
tan∠ABC=4
3
，动点 O从点 B出发，沿射线
BA
以
1cm/s
的速度运动，同时动点 Q从点 C出发，
沿线段
CB
以
2cm/s
的速度向点 B运动，当点 Q到达点 B时，点 O，Q都停止运动．以点 O为圆心，
OB
长
为半径的半圆与线段
BC
交于点 D，与射线
BA
交于点 P．连接
PQ
，设运动时间为 t秒
(t>0)
(1)求
BD
的长（用含 t的式子表示）
(2)当t为何值时，线段
PQ
与半圆 O相切？
(3)若半圆 O与线段
PQ
只有一个公共点，直接写出 t的取值范围．
【变式 2-3】（2023·福建厦门·统考模拟预测）已知矩形
ABCD
，
AD>AB
图1 图2
(1)如图 1，若点 B，D在以 O为圆心，
OA
为半径的圆上，
AB=OB
，求证：
AD=2AB
；
(2)如图 2，点 E，F分别在
AD ，BC
边上，若点 D，点 C关于直线
EF
对称的点分别为点 B和点 P，判断直
线
DP
与过 A，E，F三点的圆的位置关系，并说明理由
【题型 3 求平移到与相切时圆心坐标或运动距离】
【例 3】（2023·河南南阳·统考一模）如图，直线
y=−3
4x−3
交x轴于点 A，交 y轴于点 B，点 P是x轴上
一动点，以点 P为圆心，以 1个单位长度为半径作
⊙P
，当
⊙P
与直线 AB 相切时，点 P的坐标是（）
A．
(
−7
3,0
)
B．
(
−7
3,0
)
或
(
−17
3,0
)
C．
(
−3
7,0
)
D．
(
−3
7,0
)
或
(
−3
17 ,0
)
【变式 3-1】（2023·吉林松原·校联考二模）如图，在平面直角坐标系中，半径为 2的
⊙P
的圆心 P的坐标
为
(−3,0)
，将
⊙P
沿x轴正方向平移，使
⊙P
与y轴相交，则平移的距离 d的取值范围是 ．
【变式 3-2】（2023·四川凉山·统考模拟预测）如图，在半径为 5cm 的⊙O中，直线 l交⊙O于A、B两点，
且弦 AB＝8cm，要使直线 l与⊙O相切，则需要将直线 l向下平移(　　)
A．1cm B．2cm C．3cm D．4cm
【变式 3-3】（2023·北京·统考二模）在平面直角坐标系
xOy
中，
⊙O
的半径为 2．对于直线 l和线段
BC
，
给出如下定义：若将线段
BC
关于直线 l对称，可以得到
⊙O
的弦
B'C'
(
B'
，
C'
分别是 B，C的对应点)，则
称线段
BC
是以直线 l为轴的
⊙O
的“关联线段”．例如，图 1中线段
BC
是以直线 l为轴的
⊙O
的“关联
线段”．
(1)如图 2，点
B1
，
C1
，
B2
，
C2
，
B3
，
C3
的横、纵坐标都是整数．
① 在线段
B1C1
，
B2C2
，
B3C3
中，以直线
l1
：
y=x+4
为轴的
⊙O
的“关联线段”是 ；
摘要：

专题32与圆有关的位置关系【十六大题型】【题型1点和圆的位置关系】....................................................................................................................................5【题型2直线与圆的位置关系】...........................................................................................................................

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