专题19 坐标系与参数方程不等式选讲系列 （解析版）

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五年（2019-2023）年高考真题分项汇编
专题 19 坐标系与参数方程及不等式选讲系列
考点 01 坐标系与参数方程
考点 02 不等式选讲系列
考点 01 坐标系与参数方程
1．(2023 年全国甲卷理科)已知点 ，直线 (t为参数)， 为 的倾斜角，l与x轴正
半轴，y轴正半轴分别交于 A，B两点，且 ．
(1)求 ；
(2)以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求 l的极坐标方程．
【答案】(1)
(2)
【解析】：(1)因为 与 轴， 轴正半轴交于 两点，所以 ，
令 ， ，令 ， ，
所以 ，所以 ，
即 ，解得 ，
因为 ，所以 ．
(2)由(1)可知，直线 的斜率为 ，且过点 ，
所以直线 的普通方程为： ，即 ，
由 可得直线 的极坐标方程为 ．
2 ．(2023 年全国乙卷理科·第 22 题)在直角坐标系 中，以坐标原点 为极点， 轴正半轴为极轴建
立极坐标系，曲线 的极坐标方程为 ，曲线 ： ( 为参数，
)．
(1)写出 的直角坐标方程；
(2)若直线 既与 没有公共点，也与 没有公共点，求 的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【解析】：(1)因为 ，即 ，可得 ，
整理得 ，表示以 为圆心，半径为 1的圆，
又因为 ，
且 ，则 ，则 ，
故 ．
(2)
因为 ( 为参数， )，
整理得 ，表示圆心为 ，半径为 2，且位于第二象限的圆弧，
如图所示，若直线 过 ，则 ，解得 ；
若直线 ，即 与 相切，则 ，解得 ，
若直线 与 均没有公共点，则 或 ，
即实数 的取值范围 ．
3．(2022 年高考全国乙卷数学(理))在直角坐标系 中，曲线 C的参数方程为 ，(t为参
数)，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知直线 l的极坐标方程为
．
(1)写出 l的直角坐标方程；
(2)若 l与C有公共点，求 m的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【解析】：【小问 1详解】
因为 l： ，所以 ，
又因为 ，所以化简为 ，
整理得 l的直角坐标方程：
【小问 2详解】
联立 l与C的方程，即将 ， 代入
中，可得 ，
所以 ，
化简为 ，
要使 l与C有公共点，则 有解，
令 ，则 ，令 ， ，
对称轴为 ，开口向上，
所以 ，
，
所以
m的取值范围为 ．
4．（2022 年高考全国甲卷数学(理)）在直角坐标系 中，曲线 的参数方程为 （t为参数），
曲线 的参数方程为 （s为参数）．
(1)写出 的普通方程；
(2)以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 的极坐标方程为 ，求 与
交点的直角坐标，及 与 交点的直角坐标．
【答案】(1) ；
(2) 的交点坐标为 ， ， 的交点坐标为 ， ．
【分析】(1)消去 ，即可得到 的普通方程；
(2)将曲线 的方程化成普通方程，联立求解即解出．
【详解】（1）因为 ， ，所以 ，即 的普通方程为 ．
（2）因为 ，所以 ，即 的普通方程为 ，
由 ，即 的普通方程为 ．
联立 ，解得： 或 ，即交点坐标为 ， ；
联立 ，解得： 或 ，即交点坐标为 ， ．
5．(2021 年高考全国甲卷)在直角坐标系 中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，
曲线 C的极坐标方程为 ．
(1)将 C的极坐标方程化为直角坐标方程；
(2)设点 A
的
直角坐标为 ，M为C上的动点，点 P满足 ，写出 Р的轨迹 的参数
方程，并判断 C与 是否有公共点．
【答案】(1) ；(2)P的轨迹 的参数方程为 ( 为参数)，C
与 没有公共点．
【解析】：(1)由曲线 C的极坐标方程 可得 ，
将 代入可得 ，即 ，
即曲线 C的直角坐标方程为 ；
(2)设 ，设
，
，
则 ，即 ，
故P的轨迹 的参数方程为 ( 为参数)
曲线 C的圆心为 ，半径为 ，曲线 的圆心为 ，半径为 2，
则圆心距为 ， ， 两圆内含，
故曲线 C与 没有公共点．
6 （2021·全国·统考高考乙卷真题）在直角坐标系 中， 的圆心为 ，半径为 1．
（1）写出 的一个参数方程;
（2）过点 作 的两条切线．以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求这两条切线
摘要：

五年（2019-2023）年高考真题分项汇编专题19坐标系与参数方程及不等式选讲系列考点01坐标系与参数方程考点02不等式选讲系列考点01坐标系与参数方程1．(2023年全国甲卷理科)已知点，直线(t为参数)，为的倾斜角，l与x轴正半轴，y轴正半轴分别交于A，B两点，且．(1)求；(2)以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求l的极坐标方程．【答案】(1)(2)【解析】：(1)因为与轴，轴正半轴交于两点，所以，令，，令，，所以，所以，即，解得，因为，所以．(2)由(1)可知，直线的斜率为，且过点，所以直线的普通方程为：，即，由可得直线的极坐标方程为．2．(2023年全国乙卷理科·第2...

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