专题19 坐标系与参数方程不等式选讲系列（解析版）

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五年（2019-2023）年高考真题分项汇编

专题 19 坐标系与参数方程及不等式选讲系列

考点 01 坐标系与参数方程

考点 02 不等式选讲系列

考点 01 坐标系与参数方程

1．(2023 年全国甲卷理科)已知点，直线 (t为参数)，为的倾斜角，l与x轴正

半轴，y轴正半轴分别交于 A，B两点，且．

(1)求；

(2)以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求 l的极坐标方程．

【答案】(1)

(2)

【解析】：(1)因为与轴，轴正半轴交于两点，所以，

令，，令，，

所以，所以，

即，解得，

因为，所以．

(2)由(1)可知，直线的斜率为，且过点，

所以直线的普通方程为：，即，

由可得直线的极坐标方程为．

2 ．(2023 年全国乙卷理科·第 22 题)在直角坐标系中，以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建

立极坐标系，曲线的极坐标方程为，曲线： ( 为参数，

)．

(1)写出的直角坐标方程；

(2)若直线既与没有公共点，也与没有公共点，求的取值范围．

【答案】(1)

(2)

【解析】：(1)因为，即，可得，

整理得，表示以为圆心，半径为 1的圆，

又因为，

且，则，则，

故．

(2)

因为 ( 为参数， )，

整理得，表示圆心为，半径为 2，且位于第二象限的圆弧，

如图所示，若直线过，则，解得；

若直线，即与相切，则，解得，

若直线与均没有公共点，则或，

即实数的取值范围．

3．(2022 年高考全国乙卷数学(理))在直角坐标系中，曲线 C的参数方程为，(t为参

数)，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知直线 l的极坐标方程为

．

(1)写出 l的直角坐标方程；

(2)若 l与C有公共点，求 m的取值范围．

【答案】(1)

(2)

【解析】：【小问 1详解】

因为 l：，所以，

又因为，所以化简为，

整理得 l的直角坐标方程：

【小问 2详解】

联立 l与C的方程，即将，代入

中，可得，

所以，

化简为，

要使 l与C有公共点，则有解，

令，则，令，，

对称轴为，开口向上，

所以，

，

所以

m的取值范围为．

4．（2022 年高考全国甲卷数学(理)）在直角坐标系中，曲线的参数方程为（t为参数），

曲线的参数方程为（s为参数）．

(1)写出的普通方程；

(2)以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为，求与

交点的直角坐标，及与交点的直角坐标．

【答案】(1) ；

(2) 的交点坐标为，，的交点坐标为，．

【分析】(1)消去，即可得到的普通方程；

(2)将曲线的方程化成普通方程，联立求解即解出．

【详解】（1）因为，，所以，即的普通方程为．

（2）因为，所以，即的普通方程为，

由，即的普通方程为．

联立，解得：或，即交点坐标为，；

联立，解得：或，即交点坐标为，．

5．(2021 年高考全国甲卷)在直角坐标系中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，

曲线 C的极坐标方程为．

(1)将 C的极坐标方程化为直角坐标方程；

(2)设点 A

的

直角坐标为，M为C上的动点，点 P满足，写出 Р的轨迹的参数

方程，并判断 C与是否有公共点．

【答案】(1) ；(2)P的轨迹的参数方程为 ( 为参数)，C

与没有公共点．

【解析】：(1)由曲线 C的极坐标方程可得，

将代入可得，即，

即曲线 C的直角坐标方程为；

(2)设，设

，

则，即，

故P的轨迹的参数方程为 ( 为参数)

曲线 C的圆心为，半径为，曲线的圆心为，半径为 2，

则圆心距为，，两圆内含，

故曲线 C与没有公共点．

6 （2021·全国·统考高考乙卷真题）在直角坐标系中，的圆心为，半径为 1．

（1）写出的一个参数方程;

（2）过点作的两条切线．以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求这两条切线

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摘要：

五年（2019-2023）年高考真题分项汇编专题19坐标系与参数方程及不等式选讲系列考点01坐标系与参数方程考点02不等式选讲系列考点01坐标系与参数方程1．(2023年全国甲卷理科)已知点，直线(t为参数)，为的倾斜角，l与x轴正半轴，y轴正半轴分别交于A，B两点，且．(1)求；(2)以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求l的极坐标方程．【答案】(1)(2)【解析】：(1)因为与轴，轴正半轴交于两点，所以，令，，令，，所以，所以，即，解得，因为，所以．(2)由(1)可知，直线的斜率为，且过点，所以直线的普通方程为：，即，由可得直线的极坐标方程为．2．(2023年全国乙卷理科·第2...

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