第十章专题强化十九动态圆问题

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专题强化十九　动态圆问题

目标要求　1.进一步掌握带电粒子在有界磁场中运动的临界、极值问题.2.理解“平移圆”

“旋转圆”“放缩圆”“磁聚焦”等模型的适用条件及解决方法．

1．临界条件

带电粒子刚好穿出(不穿出)磁场边界的条件是带电粒子在磁场中运动的轨迹与边界相切，故

边界(边界的切线)与轨迹过切点的半径(直径)垂直．

2．解题步骤

分析情景→作基础图→作动态图→确定临界轨迹→分析临界状态→构建三角形→解三角形

3．常见的几种临界情况

(1)直线边界

最长时间：弧长最长，一般为轨迹与直线边界相切．

最短时间：弧长最短(弦长最短)，入射点确定，入射点和出射点连线与边界垂直．

如图 1，P为入射点，M为出射点．

图1

(2)圆形边界：公共弦为小圆直径时，出现极值，即：

当运动轨迹圆半径大于圆形磁场半径时，以磁场直径的两端点为入射点和出射点的轨迹对应

的圆心角最大．

当运动轨迹圆半径小于圆形磁场半径时，则以轨迹圆直径的两端点为入射点和出射点的圆形

磁场对应的圆心角最大．

题型一　“平移圆”模型

适

用

条

件

速度大小一

定，方向一

定，但入射

点在同一直

线上

粒子源发射速度大小、方向一定，入射点不

同但在同一直线上的带电粒子进入匀强磁场

时，它们做匀速圆周运动的半径相同，若入

射速度大小为 v0，则半径 R＝，如图所示

轨迹圆圆心

共线

带电粒子在磁场中做匀速圆周运动的圆心在

同一直线上，该直线与入射点的连线平行

界定

方法

将半径为 R＝的圆进行平移，从而探索粒子的临界条件，这

种方法叫“平移圆”法

例1　(多选)如图 2所示，在Ⅰ、Ⅱ两个区域内存在磁感应强度大小均为 B的匀强磁场，磁

场方向分别垂直于纸面向外和向里，AD、AC 边界的夹角∠DAC＝30°，边界 AC 与边界 MN

平行，Ⅱ区域宽度为 d.质量为 m、电荷量为＋q的粒子可在边界 AD 上的不同点射入，入射

速度垂直 AD 且垂直磁场，若入射速度大小为，不计粒子重力，则(　　)

图2

A．粒子在磁场中的运动半径为

B．粒子在距 A点0.5d处射入，不会进入Ⅱ区域

C．粒子在距 A点1.5d处射入，在Ⅰ区内运动的时间为

D．能够进入Ⅱ区域的粒子，在Ⅱ区域内运动的最短时间为

答案　CD

解析　带电粒子在磁场中的运动半径 r＝＝d，选项 A错误；设从某处 E进入磁场的粒子，

其轨迹恰好与 AC 相切(如图所示)，则 E点距 A点的距离为 2d－d＝d，粒子在距 A点0.5d处

射入，会进入Ⅱ区域，选项 B错误；粒子在距 A点1.5d处射入，不会进入Ⅱ区域，在Ⅰ区

域内的轨迹为半圆，运动的时间为 t＝＝，选项 C正确；进入Ⅱ区域的粒子，弦长最短的运

动时间最短，且最短弦长为 d，对应圆心角为 60°，最短时间为 tmin＝＝，选项 D正确．

题型二　“旋转圆”模型

适

用

条

件

速度大小

一定，方

向不同

粒子源发射速度大小一定、方向不同的带电粒子进入匀

强磁场时，它们在磁场中做匀速圆周运动的半径相同，

若入射初速度大小为 v0，则圆周运动轨迹半径为 R＝，

如图所示

轨迹圆圆

心共圆

如图，带电粒子在磁场中做匀速圆周运动的圆心在以入

射点 P为圆心、半径 R＝的圆上

界定

方法

将一半径为 R＝的圆以入射点为圆心进行旋转，从而探索出临界条

件，这种方法称为“旋转圆”法

例2　如图 3所示，平行边界 MN、PQ 间有垂直纸面向里的匀强磁场，磁场的磁感应强度

大小为 B，两边界的间距为 d，MN 上有一粒子源 A，可在纸面内沿各个方向向磁场中射入

质量均为 m、电荷量均为＋q的粒子，粒子射入磁场的速度大小 v＝，不计粒子的重力及粒

子间的相互作用，则粒子能从 PQ 边界射出的区域长度与能从 MN 边界射出的区域长度之比

为(　　)

图3

A．1∶1 B．2∶3 C. 2 D. 3∶ ∶

答案　C

解析　粒子在磁场中运动时，Bqv＝，粒子运动轨迹半径 R＝＝d；由左手定则可得，粒子

沿逆时针方向偏转，做匀速圆周运动；粒子沿 AN 方向进入磁场时，到达 PQ 边界的最下端，

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摘要：

专题强化十九　动态圆问题目标要求　1.进一步掌握带电粒子在有界磁场中运动的临界、极值问题.2.理解“平移圆”“旋转圆”“放缩圆”“磁聚焦”等模型的适用条件及解决方法．1．临界条件带电粒子刚好穿出(不穿出)磁场边界的条件是带电粒子在磁场中运动的轨迹与边界相切，故边界(边界的切线)与轨迹过切点的半径(直径)垂直．2．解题步骤分析情景→作基础图→作动态图→确定临界轨迹→分析临界状态→构建三角形→解三角形3．常见的几种临界情况(1)直线边界最长时间：弧长最长，一般为轨迹与直线边界相切．最短时间：弧长最短(弦长最短)，入射点确定，入射点和出射点连线与边界垂直．如图1，P为入射点，M为出射点．图1(2)圆...

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