专题08 水平面内的圆周运动模型（解析版）

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专题 08 水平面内的圆周运动模型

【模型一】圆锥摆模型.........................................................................................................................................1

【模型二】圆锥斗、圆碗模型............................................................................................................................8

【模型三】火车转弯模型...................................................................................................................................10

【模型四】水平路面转弯模型..........................................................................................................................12

【模型五】圆盘模型...........................................................................................................................................15

【模型一】圆锥摆模型

1．结构特点：一根质量和伸长可以不计的轻细线，上端固定，下端系一个可以视为质点的摆球在水平面

内做匀速圆周运动，细绳所掠过的路径为圆锥表面。

2．受力特点：摆球质量为

，只受两个力即竖直向下的重力

和沿摆线方向的拉力

。两个力的合力，

就是摆球做圆周运动的向心力，如图所示（也可以理解为拉力的竖直分力与摆球的重力平衡，的

水平分力提供向心力）。

4．运动特点：摆长为

，摆线与竖直方向的夹角为

的圆锥摆，摆球做圆周运动的圆心是 O，圆周运动的

轨道半径是

r=lsin θ

向心力

F合=mg tanθ=man=mω2lsin θ=mv2/(lsin θ)

摆线的拉力

FT=mg /cos θ

【讨论】： (1) 当摆长一定，摆球在同一地点、不同高度的水平面内分别做匀速圆周运动时，据

cos θ=g/(ω2l)

可知，若角速度

越大，则

越大，摆线拉力

FT=mg /cos θ

也越大，向心加速度

an=gtanθ

也越大，线速度

v=ωr

√

gl sin θtan θ

也越大。

结论是：同一圆锥摆，在同一地点，若

越大，则摆线的拉力越大，向心力越大，向心加速度也越大，转

动的越快，运动的也越快，。

(2)当为定值时（

lcos θ=h

为摆球的轨道面到悬点的距离 h，即圆锥摆的高度），摆球的质量相等、

摆长不等的圆锥摆若在同一水平面内做匀速圆周运动，则摆线拉力

FT=mg /cos θ

，向心力

F合=mg tanθ

，向心加速度

an=gtanθ

，角速度

ω=

√

g/h

，线速度

v=ωr=

√

gh tanθ

。

结论是：在同一地点，摆球的质量相等、摆长不等但高度相同的圆锥摆，转动的快慢相等，但

角大的圆

锥摆，摆线的拉力大，向心力大，向心加速度大，运动得快。

4.多绳圆锥摆问题

随角速度增大，两绳的拉力如何变化？

【模型演练 1】.(多选)(2020·四川成都七中 5月测试)天花板下悬挂的轻质光滑小圆环 P可绕过悬挂点的竖

直轴无摩擦地旋转．一根轻绳穿过 P，两端分别连接质量为 m1和m2的小球 A、B(m1≠m2)．设两球同时做如

图6所示的圆锥摆运动，且在任意时刻两球均在同一水平面内，则(　　)

A．两球运动的周期相等

B．两球的向心加速度大小相等

C．球 A、B到P的距离之比等于 m2∶m1

D．球 A、B到P的距离之比等于 m1∶m2

【答案】　AC

【解析】　对其中一个小球受力分析，其受到重力和绳的拉力 FT，绳的拉力在竖直方向的分力与重力平衡，

设轻绳与竖直方向的夹角为 θ，则有 FTcos θ＝mg，拉力在水平方向上的分力提供向心力，设该小球到 P的

距离为 l，则有 FTsin θ＝mgtan θ＝mlsin θ，解得周期为 T＝2π＝2π，因为任意时刻两球均在同一水平面内，

故两球运动的周期相等，选项 A正确；连接两球的绳的张力 FT相等，由于向心力为 Fn＝FTsin θ＝mω2lsin

θ，故 m与l成反比，即＝，又小球的向心加速度 a＝ω2htan θ＝()2htan θ，故向心加速度大小不相等，选项

C正确，B、D错误．

【模型演练 2】(多选)(2020·山东济南市历城二中一模)如图所示，金属块 Q放在带光滑小孔的水平桌面上，

一根穿过小孔的不可伸长的细线，上端固定在 Q上，下端拴一个小球．小球在某一水平面内做匀速圆周运

动(圆锥摆)，细线与竖直方向成 30°角(图中 P位置)．现使小球在更高的水平面上做匀速圆周运动，细线与

竖直方向成 60°角(图中 P′位置)．两种情况下，金属块 Q都静止在桌面上的同一点，则后一种情况与原来相

比较，下面说法正确的是(　　)

A．Q受到桌面的静摩擦力大小不变

B．小球运动的角速度变大

C．细线所受的拉力之比为 2 1∶

D．小球的向心力大小之比为 3 1∶

【答案】　BD

【解析】　设细线与竖直方向的夹角为 θ，细线的拉力大小为 FT，细线的长度为 L.小球做匀速圆周运动时，

由重力和细线的拉力的合力提供向心力，则有： FT＝；向心力：Fn＝mgtan θ＝mω2Lsin θ，得角速度：ω

＝，使小球在一个更高的水平面上做匀速圆周运动时，θ增大，cos θ减小，则得到细线拉力 FT增大，角速

度ω增大．对 Q，由平衡条件得知，Q受到桌面的静摩擦力等于细线的拉力大小，细线拉力 FT增大，则静

摩擦力变大，故 A错误，B正确；开始时细线所受的拉力：FT1＝＝，θ增大为 60°后细线所受的拉力：FT2

＝＝2mg，所以：＝，故 C错误；开始时小球的向心力：Fn1＝mgtan 30°＝mg，θ增大为 60°后的向心力：

Fn2＝mgtan 60°＝mg，所以：＝，故 D正确．

【模型演练 3】(2020·山东滨州二模)(多选)如图所示，置于竖直面内的光滑金属圆环半径为 r，质量为 m的

带孔小球穿于环上，同时有一长为 r的细绳一端系于圆环最高点，另一端系小球，当圆环以角速度 ω(ω≠0)

绕竖直直径转动时(　　)

A．细绳对小球的拉力可能为零

B．细绳和金属圆环对小球的作用力大小可能相等

C．细绳对小球拉力与小球的重力大小不可能相等

D．当 ω＝时，金属圆环对小球的作用力为零

【答案】　CD

【解析】　圆环光滑，小球受到重力、环对球的弹力和绳子的拉力，根据几何关系可知，此时细绳与竖直

方向的夹角为 60°，当圆环旋转时，小球绕竖直轴做圆周运动，

则有 FTcos 60°＋FNcos 60°＝mg，FTsin 60°－FNsin 60°＝mω2rsin 60°，解得 FT＝mg＋mω2r，FN＝mg－mω2r,

当ω＝时，金属圆环对小球的作用力 FN＝0，故 C、D正确，A、B错误．

【模型演练 4】(多选)(2021·河南示范性高中联考)如图所示，A、B两小球用一根轻绳连接，轻绳跨过圆锥

筒顶点处的光滑小定滑轮，圆锥筒的侧面光滑。当圆锥筒绕竖直对称轴OO′匀速转动时，两球都位于筒侧

面上，且与筒保持相对静止，小球 A到顶点O的距离大于小球 B到顶点O的距离，则下列判断正确的是(

)

A．A球的质量大 B．B球的质量大

C．A球对圆锥筒侧面的压力大 D．B球对圆锥筒侧面的压力大

【答案】BD　

【解析】本题考查圆锥面内的圆周运动问题。绳对 A、B两球的拉力大小相等，设绳子对小球的拉力大小

为T，侧面对小球的支持力大小为 F，则竖直方向有 Tcos θ＋Fsin θ＝mg，水平方向有 Tsin θ－Fcos θ＝

mω2lsin θ，可得 T＝mgcos θ＋mω2lsin 2θ，可知质量 m越大，l就越小，则 B球的质量大，又 T＝，可知 m

越大，F就越大，则 B球受圆锥筒侧面的支持力大，结合牛顿第三定律可知选项 B、D正确，A、C错误。

【模型演练 5】(2020·兰州质检)如图所示，转动轴垂直于光滑水平面，交点O的上方 h(A点)处固定细绳的

一端，细绳的另一端拴接一质量为 m的小球 B，绳长 l大于 h，转动轴带动小球在光滑水平面上做圆周运动。

当转动的角速度 ω逐渐增大时，下列说法正确的是(　　)

A．小球始终受三个力的作用

B．细绳上的拉力始终保持不变

C．要使球不离开水平面，角速度的最大值为

D．若小球飞离了水平面，则角速度可能为

【答案】C

【解析】小球可以在水平面上转动，也可以飞离水平面，飞离水平面后只受重力和细绳的拉力两个力作用，

故选项 A错误；小球飞离水平面后，随着角速度增大，细绳与竖直方向的夹角变大，设为 β，由牛顿第二

定律得Tsin β＝mω2lsin β可知，随角速度变化，细绳的拉力 T会发生变化，故选项 B错误；当小球对水平

面的压力为零时，有 Tcos θ＝mg，Tsin θ＝mlω2sin θ，解得临界角速度为 ω＝＝，若小球飞离了水平面，则

角速度大于，而<，故选项 C正确，D错误。

【模型演练 6】(多选)质量为 m的小球由轻绳 a和b分别系于一轻质细杆的A点和 B点，如图所示，绳 a与

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摘要：

专题08水平面内的圆周运动模型目录【模型一】圆锥摆模型.........................................................................................................................................1【模型二】圆锥斗、圆碗模型.............................................................................................................................

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