吉林省长春市东北师范大学附属中学2025届高三上学期第二次摸底考试数学试题（含答案）
2026-03-15
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吉林省东北师范大学附属中学 2025 届高三上学期第二次摸底考试
数学试题
一、单选题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设集合
A={x∈N∨−2<x⩽1}
，
B={x
|
lg(x+2)<1}
，则
A ∩ B=¿
()
A.
{−1,0,1}
B.
{0,1}
C.
{−1,1}
D.
{−1}
2.已知
y=f ′
(
x
)
是
y=f
(
x
)
的导函数，则“
f ′
(
x0
)
=0
”是“
x0
是函数
y=f
(
x
)
的一个极值点”的()
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
3.函数
f
(
x
)
=
{
0, x=0
x − sin x
ln
|
x
|
, x ≠0
的图象大致为()
A. B.
C. D.
4.“碳达峰”，是指二氧化碳的排放不再增长，达到峰值之后开始下降；而“碳中和”，是指企业、团体
或个人通过植树造林、节能减排等形式，抵消自身产生的二氧化碳排放量，实现二氧化碳“零排放”
.
某地
区二氧化碳的排放量达到峰值
a¿
亿吨
¿
后开始下降，其二氧化碳的排放量
S¿
亿吨
¿
与时间
t¿
年
¿
满足函数关
系式
S=a bt
，若经过
5
年，二氧化碳的排放量为
4a
5¿
亿吨
¿.
已知该地区通过植树造林、节能减排等形式，
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能抵消自产生的二氧化碳排放量为
a
4¿
亿吨
¿
，则该地区要能实现“碳中和”，至少需要经过多少年？
¿
参
考数据：
lg2≈0.3 ¿
()
A.
28
B.
29
C.
30
D.
31
5.已知
α∈(π
2, π )
，且
3 cos 2 α − sin α=2
，则()
A.
cos (π − α )= 2
3
B.
tan(π − α )=
√
2
4
C.
sin
(
π
2− α
)
=
√
5
3
D.
cos
(
π
2−α
)
=
√
5
4
6.已知向量
a
⃗
=
(
1,0
)
, b
⃗
=
(
1,2
√
3
)
，则向量
a
⃗
+b
⃗
在向量
⃗
a
上的投影向量为()
A.
(
2,2
√
3
)
B.
2
C.
⃗
a
D.
2a
⃗
7.已知定义在
R
上的可导函数
f
(
x
)
，对
∀x∈R
，都有
f
(
− x
)
=e2xf
(
x
)
，当
x>0
时
f
(
x
)
+f ′
(
x
)
<0
，若
e2a −1f
(
2a −1
)
≤ea+1f
(
a+1
)
，则实数
a
的取值范围是()
A.
[
0,2
]
B.
(
− ∞ , −1
]
∪
[
2,+∞
)
C.
(
− ∞, 0
]
∪
[
2,+∞
)
D.
[
−1,2
]
8.在
▵ABC
中，角
A , B , C
的对边分别为
a , b , c ,▵ABC
的面积为
S
，则
S
a2+4bc
的最大值为()
A.
√
2
16
B.
√
2
8
C.
9
√
15
16
D.
9
√
15
32
二、多选题：本题共 3小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.
¿
多选
¿
若
x>1>y
，则下列不等式一定成立的是()
A.
x − 1>1− y
B.
x − 1>y − 1
C.
x− y>1− y
D.
1− x>y − x
10.已知函数
f(x)=
√
3+2sin x − sin 2 x
，则下列结论正确的有()
A.函数
f(x)
的最小正周期为
π
B.函数
f(x)
在
[− π , π ]
上有
2
个零点
C.函数
f(x)
的图象关于
(π ,
√
3)
对称 D.函数
f(x)
的最小值为
−
√
3
11.已知
x1
是函数
f
(
x
)
=x+1−ln
(
x+2
)
的零点，
x2
是函数
g
(
x
)
=x2−2ax +4a+4
的零点，且满足
|
x1− x2
|
≤1
，则实数
a
的取值可能是()
A.
−1
B.
−2
C.
2−2
√
2
D.
4−4
√
2
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三、填空题：本题共 3小题，每小题 5分，共 15 分。
12.复数
z
满足
|
z −5
|
=
|
z− 1
|
=
|
z+i
|
，则
|
z
|
=¿
．
13.已知函数
f(x)
的定义域为
R
，
y=f(x)+ex
是偶函数，
y=f(x)−3ex
是奇函数，则
f(x)
的最小值
为．
14.莱洛三角形，也称圆弧三角形，是一种特殊三角形，在建筑、工业上应用广泛，如图所示，分别以正
三角形
ABC
的顶点为圆心，以边长为半径作圆弧，由这三段圆弧组成的曲边三角形即为莱洛三角形，已知
A , B
两点间的距离为
2
，点
P
为
AB
⌢
上的一点，则
⃗
PA ⋅(
⃗
PB+
⃗
PC)
的最小值为．
四、解答题：本题共 5小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.
¿
本小题
13
分
¿
在
▵ABC
中，角
A , B , C
的对边分别为
a , b , c
，若
2asin A=
(
2 sin B+sin C
)
b+
(
2 sin C+sin B
)
c
．
(1)
求
A
的大小；
(2)
若
m
⃗
=
(
1,sin B
)
, n
⃗
=
(
sin C , 1
)
，求
m
⃗
⋅n
⃗
的最大值．
16.
¿
本小题
15
分
¿
已知数列
{
an
}
的首项
a1=4
5
，且满足
an+1=4an
an+3
，设
bn=1
an
−1
．
(1)
求证：数列
{
bn
}
为等比数列；
(2)
若
1
a1
+1
a2
+1
a3
+⋯+1
an
>2024
，求满足条件的最小正整数
n
．
17.
¿
本小题
15
分
¿
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