2025年1月山东济南高三数学模拟考试参考答案

2026-01-11 0 0 1.06MB 6 页 10玖币

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2025 年1月济南市高三摸底考试

数学试题参考答案

一、单项选择题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合

题目要求的。

题号 1 2 3 4 5 6 7 8

答案 B A D C D C B B

二、多项选择题：本题共 3小题，每小题 6分，共 18 分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目

要求。全部选对的得 6分，部分选对的得部分分，有选错的得 0分。

题号 9 10 11

答案 BCD AC ACD

三、填空题：本题共 3小题，每小题 5分，共 15 分。

12．7

813．2 2

( 1) 1x y   （答案不唯一) 14．2450 ；52

2 204

四、解答题：本题共 5小题，共 77 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

15．【解析】（1）取 1

DD 中点 G，连接 ,AG EG ，

则有 ,DG CE DG CE

‖

，所以四边形 CDGE 为平行四边形，所以 CD EG

‖

，CD EG，

又因为 AB CD

‖

，AB CD，所以 ,AB EG AB EG

‖

，所以四边形 ABEG 为平行四边形，

所以 ,BE AG BE AG

‖

，又因为 1 1

,AF D G AF D G

‖

，所以四边形 1

AGD F 为平行四边形，

所以

AG D F

‖

，所以 1

BE D F

‖

，

所以

, , ,B E D F 四点共面．

（2）取

DC 中点 ,OAB 中点 M，连接 1

D O ，OM ．

因为 1

AA AB，160D DC   ，所以侧面 1 1

DCC D 是菱形，所以 1

D O DC，

因为平面 1 1

DCC D 平面 ABCD ，平面 1 1

DCC D ∩平面 ABCD CD，1

D O 平面 1 1

DCC D ，

所以 1

D O 平面 ABCD ，进而有 1

D O OM，1

D O OC，

因为底面 ABCD 是矩形，所以 OM OC，

所以 OM ，OC ，1

OD 两两互相垂直．如图所示建系，

由（1）知 1

D O 平面 ABCD ，所以 (0,0,1)m是平面 1 1 1 1

A B C D 的一个法向量．

{#{QQABbYSAogiAABJAABgCAQFyCEAQkAGAAagGQBAQIAAAiRFABAA=}#}

- 2 -

设

1AD ，则 1(0,0, 3), (1,1,0)D B ．因此

1 1

3 3

(1,1, 3), (0, , )

2 2

D B D E   

  ．

设

( , , )x y zn平面 1

D BE 的法向量，则 1

D B

n，1

D E

n．

所以

3 0

3 3 0.

2 2

x y z

y z

  



 





，

所以 2 0

3 .

x y

z y

 











，

取1y，则 2x，3z．于是 (2,1, 3)n是平面 1

D BE 的一个法向量．

设平面 1

BD E 与平面 1 1 1 1

A B C D 夹角为



，

3 6

cos cos 4

4 1 3





    

 

，m n

m n

m n ．

即平面 1

BD E 与平面 1 1 1 1

A B C D 夹角的余弦值为 6

4．

16．【解析】（1）由正弦定理得， sin 2cos cos

sin 2 cos

C B C

A A



，

所以， 2sin sin cos 2sin cos sin cosC C A A B A C   ，即 2sin 2sin cos sinC A B B  ，

又A B C    ，所以， 2sin( ) 2sin cos sinA B A B B   ，即 2sin cos sinB A B，

因为 sin 0B，所以 1

cos 2

A，又因为 (0, )A  ，所以 3

A

．

（2）因为 AM 是边 BC 的中线，所以 1

AM AB AC

  

( + ) ，则 2 2 2

12 | || | cos

4 3

AM AB AC AB AC 



   

( + + ) ．

不妨设 1c，则 21

AM ，所以， 2 2 2

21 1

( ) 1 )

2 4 b b( + + ，即 220 0b b  +，

解得， 4 5b 或（舍）

，所以 2

AN   .

在ABN△中， sin sin

AN AB

ABN ANB



  ，

2 1

sin sin( )

ABN ABN



 

即，

解得， cos 0ABN  ，即 2

ABN 

  ．

所以，在 Rt ABN△中， 2 2 4 1 3BN AN c     ，

又易知， P是ABC△重心，所以， 2 2 3

3 3

BP BN  ，

所以

1 3

tan tan 2

2 3

MPN APB BP

      ．

17．【解析】（1）由题意， 2

lnx x x ax恒成立，所以 0x  ，ln x x a，

{#{QQABbYSAogiAABJAABgCAQFyCEAQkAGAAagGQBAQIAAAiRFABAA=}#}

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