福建省2024-2025学年金科大联考高三11月测评 数学（含解析）

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2024~2025 学年高三 11 月测评（福建）
数学
全卷满分 150 分，考试时间 120 分钟。
注意事项：
1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上
的指定位置。
2．请按题号顺序在答题卡上各题目的答题区域内作答，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答
题区域均无效。
3．选择题用 2B 铅笔在答题卡上把所选答案的标号涂黑；非选择题用黑色签字笔在答题卡上
作答；字体工整，笔迹清楚。
4．考试结束后，请将试卷和答题卡一并上交。
一、选择题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的．
1．已知集合 ， ，则 （ ）
A．B．C．D．
2．若复数 满足 ，则复数 在复平面内所对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
3．若 和 是两个互不相等的正实数，则“ ”是“ ”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
4．已知 ， 是两个非零平面向量， ，则 在 方向上的投影向量为（ ）
A．B．C．D．
5．在平面直角坐标系中，将角 的终边顺时针旋转 后经过点 ，则 （ ）
A．B．C．D．
6．定义在 上的偶函数 和奇函数 满足 ，若函数
的最小值为 ，则 （ ）
A．1 B．3 C．D．
7．数列 是首项为 1，公比为 2的等比数列，其前 项和为 ． ， 为数
列 的前 项和，则 （ ）
A．B．C．D．
8．函数 的定义域为 ， 为 的导函数，满足 ，
，则 的最小值为（ ）
A．B．C．D．
二、选择题：本题共 3小题，每小题 6分，共 18 分．在每小题给出的选项中，有多项符合题
目要求．全部选对的得 6分，部分选对的得部分分，有选错的得 0分．
9．下列函数最小值为 4的是（ ）
A．B．
C．D．
10．已知函数 ，则下列说法正确的是（ ）
A．当 时， 的最小正周期为
B．函数 过定点
C．将函数 的图象向左平移 个单位长度后，得到函数 的图象，若函数 是偶函数，则
的最小值为
D．函数 在区间 上恰有 5个零点，则 的取值范围为
11．已知正方体 的棱长为 2， ， ， 分别是 ， ， 的中点，点 为
正方体表面上的一动点，则下列说法正确的是（ ）
A． 的面积为
B．三棱锥 体积的最大值为
C．若 平面 ，则点 的轨迹长度为
D．当点 为 的中点时， 到直线 的距离为
三、填空题：本题共 3小题，每小题 5分，共 15 分．
12．函数 ，则 ________．
13．在 中，内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，满足 ， ， ，则
________．
14．记数列 的前 项和为 ，若对任意的正整数 ，函数 均存在两个
极值点 ， ，且满足 ，则 ________．
四、解答题：本题共 5小题，共 77 分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤．
15．（本小题满分 13 分）
已知等差数列 的前 项和为 ，若 ， ．
（1）求数列 的通项公式 及前 项和 ；
（2）若 ，求数列 的前 项和 。
16．（本小题满分 15 分）
如图所示， ， 分别为半圆锥 的底面半圆弧上的两个三等分点， 为 中点， 为母线 的
中点．
（1）证明： 平面 ；
（2）若 为等边三角形，求平面 与平面 的夹角的余弦值．
17．（本小题满分 15 分）
函数 ，其中 为整数．
（1）当 时，求函数 在 处的切线方程；
（2）当 时， 恒成立，求 的最大值．
18．（本小题满分 17 分）
在 中，内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，且 ，
．
（1）求 ；
（2）求 的面积；
（3）在 所在的平面内有一动点 ，满足 ，求 的最小值．
19．（本小题满分 17 分）
设 为函数 的导函数，若 在区间 上单调递增，则称为区间 上的凹函数，区间
称作函数 的凹区间；反之，则称为区间 上的凸函数，区间 称作函数 的凸区间．
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