重庆市第一中学校2025届高三上学期12月月考数学答案

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1
数学参考答案
一、单项选择题 (本大题共 8 小题, 每小题 5 分, 共 40 分. 在每小题给出的四个选项中, 只
有一项是符
合题目要求的)
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 B D C A D A D A
1. 【解析】
∵z=1+i2025=1+i
,故选 B.
2. 易得
A={x∣−3≤ x ≤1}, B={ x∣−
√
2<x<
√
2}
,故选 D.
3. 对 A,若
m⊥n
,
n/¿α
,则
m⊂α
或
m/¿α
或
m⊥α
,错误；对 B,若
m/¿β
,
,则
m⊂α
或
m/¿α
或
m⊥α
,错误; 对
C
,若
m⊥β , n⊥β , n ⊥α
,则
m⊥α
,正确;
对
D
,若
m⊥n , n ⊥β , β ⊥α
, 则
m⊥α
或
m⊂α
或
m/¿α
,错误,故选 C.
4.【解析】由
2 sin
(
2x+π
3
)
+1=0⇒sin
(
2x+π
3
)
=−1
2,2x+π
3∈
(
π
3,13 π
3
)
,故
2x+π
3=7π
6,11 π
6,19 π
6,23 π
6⇒x=5π
12 ,3π
4,17 π
12 ,7π
4
,故选 A.
5. 【解析】设首项为
a1
,公比为
q
,数列共有
2n
项,则
{
a2n− 1
}
满足首项为
a1
,公比为
q2
, 项数为
n
项,设所有奇数项之和为
Tn
,因为所有项之和是奇数项之和的 3 倍,所以
q ≠ 1
,
所以
Tn=a1+a3+⋯+a2n −1=a1
[
1−
(
q2
)
n
]
1− q2
,
S2n=a1
(
1−q2n
)
1− q
,故满足
S2n
Tn
=
a1
(
1− q2n
)
1− q
a1
[
1−
(
q2
)
n
]
1−q2
=3
,解得
q=2
. 又
a1⋅a2=a1
2⋅q=8
,所以
a1=±2
,故选 D.
6.【解析】因为函数
y=f
(
x
)
在定义域内为单增函数,所以
f
(
f
(
x
)
)
=x
有解等价于
f
(
x
)
=x
有解,故
ln x=1
2x+a
在
[
1, e2
]
上有解,令即
a=ln x − 1
2x
,令
g
(
x
)
=ln x − 1
2x
,则
g′
(
x
)
=1
x−1
2=2− x
2x
, 当
x∈
[
1, e2
]
, x ∈
[
1,2
]
时,
g′
(
x
)
>0, g
(
x
)
单调递增; 当
x∈
[
2, e2
]
时,
g′
(
x
)
<0, g
(
x
)
单调递减,
∴g
(
x
)
max=g
(
2
)
=ln2 −1, g
(
x
)
min=g
(
e2
)
=2−1
2e2
,故选
A.
7.【解析】原式
¿
√
3
2tan 10∘+2 sin10∘=
√
3 sin 10∘
2 cos 10∘+2 sin 10∘=
√
3 sin 10∘+2 sin10∘×2 cos 10∘
2cos 10∘
2
¿
√
3 sin 10∘+2 sin 20∘
2cos 10∘=
√
3 sin10∘+2 sin
(
30∘−10∘
)
2cos 10∘
¿
√
3 sin 10∘+2
(
sin 30∘cos 10∘−cos 30∘sin 10∘
)
2 cos 10∘=
√
3 sin 10∘+cos 10∘−
√
3 sin10∘
2cos 10∘=cos 10∘
2 cos 10∘=1
2
,故选 D. 8. 【解析】因为
OP
为
∠AP F2
的平分线,所以
∠APO=∠F2PO
. 又因
为
|
OP
|
=
|
O F2
|
=c
,
所以
∠O F2P=∠F2PO
. 设
P
(
x0, y0
)
,因为点
P
在渐近线
y=−b
ax
上,所以
y0=−b
ax0
. 因为
|
OP
|
=c
, 所以
√
x0
2+y0
2=c
,所以
√
x0
2+b2
a2x0
2=c
,所以
x0
2=a2
. 又点
P
在第二象限内,所以
x0=− a , y0=b
,所以点
P
的坐标为(-a, b),所以
∠PA F2=π
2
,所以
∠PA F2+3∠APO
¿π⇒ ∠ APO=π
6
,所以
∠POA =π
3
,所以
−b
a=tan 2π
3=−
√
3⇒b
a=
√
3
,故离心率为 2 , 故选 A.
二、多项选择题 (本大题共 3 小题, 每小题 6 分, 共 18 分. 在每小题给出的四个选项中, 有
多个选项是 符合题目要求的, 全部选对的得 6 分, 部分选对的得部分分, 有选错的得 0 分)
题
号9 10 11
答
案
BC
D
AB
D
AC
D
9.【解析】对于
A
,设
M
(
x , y
)
,则
|
MO
|
|
MA
|
=
√
x2+y2
√
(
x − 3
)
2+y2=1
2
, 化
简得
(
x+1
)
2+y2=4
,故 A 错误; 对于 B,设
P
(
x, y
)
,不妨令
A
(
x1,0
)
,
B
(
0, y2
)
,正方形
ABCD
的面积为 16,则
|
AB
|
=4
,因
3
此
x1
2+y2
2=16
,由
OP=3
4OA +1
2OB
,可得
{
x=3
4x1,
y=1
2y2,
即
{
x1=4
3x ,
y2=2y ,
则
(
4x
3
)
2
+
(
2y
)
2=16
,整理得
x2
9+y2
4=1
,故
B
正确; 对于
C
,如图所示,设斜率为
2
5
的直线
方程为:
y=2
5x+b
,代入椭圆
x2
5+y2
4=1
中,消元整理得:
24 x2+20 bx+25 b2−100=0
,线段
AB
的中点为
M
,设
A
(
x1, y1
)
, B
(
x2, y2
)
, M
(
x0, y0
)
,则
x1+x2=−5
6b , x1x2=25 b2−100
24
,所以
y1+y2=
(
2
5x1+b
)
+
(
2
5x2+b
)
=2
5
(
x1+x2
)
+2b=2
5×
(
−5
6b
)
+2b=5
3b
,所以
{
x0=x1+x2
2=−5
12 b ,
y0=y1+y2
2=5
6b ,
消去
b
得:
y0=−2x0
,所以线段
AB
的中点为
M
的轨迹方程为:
y=−2x
(椭圆内).
法二: 中点为
M
的轨迹方程也可通过点差法得到
如图所示: 再由点到直线的距离公式得线段
MN
的长度的最小值为
2
√
5
5
,故 C 正确; 对于
D
,由题意点
M
是直线
2x+y −3=0
和双曲线
5x2−5y2
4=1
的唯一公共点,故
D
正确,
故选 BCD.
10.【解析】对于 A 选项: 可将四棱锥
P − ABCD
补形成正方体
ABCD− P B′C′D′
,如图
①, 直线
AG
即体对角线
A C′
,易证
A C′⊥
平面
PBD
,故 A 选项正确; 对于 B 选项: 易
得
∠APD=π
4
,故 B 选项正确; 对于
C
选项: 如图②,取
CD
的中点
M
,连接
FM
,可知
FM /¿AC
, 所以
∠GFM
(或其补角) 与直线
FG
和直线
AC
所成的角相同,在
△FGM
中,
FG=GM =FM
,所以
∠GFM=π
3
,故 C 选项错误; 对于 D 选项: 如图③,延长
EF
交
直线
CD
于点
H
,延长
FE
交直线
BC
于点
I
,连接
GI
交
PB
于点
M
,连接
GH
交
PD
于点
N
,则五边形
EFNGM
即为平面
EFG
截四棱锥
P − ABCD
所得的截面,由题可
摘要：

1数学参考答案一、单项选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)题号12345678答案BDCADADA1.【解析】∵z=1+i2025=1+i,故选B.2.易得A={x∣−3≤x≤1},B={x∣−√2

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