2024-2025二调参考答案（数学）０(1)
2025-08-22
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第1页 共 6页
吉林地区普通高中 2024—2025 学年度高三年级第二次模拟考试
数学学科参考答案
一、单选题：本大题共 8题，每小题 5分，共 40 分。
1
2
3
4
5
6
7
8
C
B
A
C
B
C
A
D
8. 教学提示
令
)]([ *
Ntxt
，则
t
t
kln
.
原不等式的解集对应区间的长度为 1，
不等式
t
t
kln
的正整数解有且只有一个.
易知
x
x
xf ln
)(
在
)e,0(
上单调递增，
),e(
上单调递减，
又
2
2ln
)4()2(
3
3ln
)3( fff ，
，
3
3ln
2
2ln k
.
二、多选题：本大题共 3题，每小题 6分，共 18 分。
9
10
11
AC
BCD
ACD
10. 教学提示
D.易证
xx sin
.
nx
n
xxxfnsin
1
sin2
2
1
sin)(
xn
nx
n
xx
nx
n
xx
1
2
2
1
sin
1
sin2
2
1
sin
11. 教学提示
（法一）已知
)()()( abfbafabf
，
令
0 ba
，则
0)0( f
；
令
1 ba
，则
0)1( f
，A选项正确；
令
1 ba
，则
0)1( f
；
令
xb,a 1
，则
)()( xfxf
，B选项不正确；
令
x
b,xa 1
，则
0)(
1
)
1
()1( xf
xx
xff
，
当
1x
时，
1
1
0 x
，
0)( xf
，
0)
1
( x
f
，即当
10 x
时，
0)( xf
.
又
)( xf
是奇函数，
当
01 x
时，
0)( xf
；当
1x
时，
0)( xf
.
01)()1()0( fff
，
C选项正确，D选项正确.
（法二）当
0x
时，
0)( xf
.
当
0x
时，
b
bf
a
af
ab
abf )()()(
.
根据等式特点，构造函数
||log
)( x
x
xf
c
)10( cc 且
，
即
)10(||log)( ccxxxf c且
.
又
当
1x
时，
0)( xf
，
1c
，即
)1(||log)( cxxxf c
.
综上
.0|,|log
,0,0
)( xxx
x
xf
c
易得 ACD 选项正确，B选项错误.
三、填空题：本大题共 3小题，每小题 5分，共 15 分。
12.
1
13.
3
3
14.
3
2
(
2
分)；
]
4
6
,0[
（
3
分）
14. 教学提示
（法一）由
PECP 2
得，点
P
轨迹是以
A
为球心，
1
为半径的球面，
又
点
P
在平面
SAB
内，
点
P
在以
A
为圆心，
1
为半径，
3
2
为圆
心角的圆弧上，因此点
P
的轨迹长度为
3
2
.
建系如图，设
)(sin,0,(cosP
])
3
2
,0[
，则
)sin31(cos)002(
,,CP,,,AB
.
cos25
1cos
sin3)1(cos2
)1(cos2
,cos 22
CPAB
CPAB
CPAB
.
第2页 共 6页
令
2
5
cos]6,3[cos25
2
t
,t,t
，
2
3
2
3
cos
2t
t
t
t
CP,AB
.]
4
6
[0,
故直线
CP
与直线
AB
所成角的余弦值的取值范围为
.]
4
6
[0,
（法二）设直线
CP
与直线
AB
所成角为
，
取
AB
的中点
M
,
1
CPM
,
2
PMA
，
根据三余弦定理可知，
1 2
cos cos cos
1
tan CM
PM
，易知
P
从点
M
运动至
N
处，
1
tan
逐渐减小，则
1
cos
逐渐增大，
由图可知，
P
从点
M
运动至
N
处
2
cos
逐渐增大，
则
P
在点
M
处时，
cos
取得最小值，此时
cos 0
，
则
P
在点
N
处时，
cos
取得最大值，此时
1 2
2 3 6
cos cos cos 2 2 4
，
故直线
CP
与直线
AB
所成角的余弦值的取值范围为
.]
4
6
[0,
四、解答题：本大题共 5小题，共 77 分。
15．【解析】
（Ⅰ）由
BCCBCBBAA 2222222 sinsin)sin1()sin1(coscossinsinsin
，
得
BACBA sinsinsinsinsin 222
.
由正弦定理得
abcba 222
.··················································································· 2 分
所以
2
1
22
cos
222
ab
ab
ab
cba
C
，
因为
π),0(C
，所以
3
π
C
. ····················································································· 4 分
在
ABC
中，
3c
，
6 ba
，由余弦定理
abbaabbac 3)( 2222
，
得
ab3)6()3( 22
，解得
1ab
.
所以
4
3
2
3
1
2
1
3
π
sin
2
1 abS
.
即
ABC
的面积
S
为
4
3
. ·························································································6 分
（Ⅱ）因为
CD
为角
C
平分线，
3
π
C
，所以
6
π
BCDACD
.
在
ABC
中，
BCDACDABC SSS
，
所以
6
π
sin
2
1
6
π
sin
2
1
3
π
sin
2
1 CDbCDaab
，·························································· 8 分
由
2
2
CD
，得
)(
8
2
8
2
8
2
4
3babaab
，所以
)(
6
6baab
.·························10 分
因为
0a
，
0b
，所以由基本不等式
2
ba
ab
，得
2
)
2
()(
6
6ba
ba
，
所以
3
62
ba
，当且仅当
3
6
ba
时取等号.
所以
ba
的最小值为
3
62
.·······················································································13 分
16．【解析】
（Ⅰ）
)( xf
的定义域为
}1|{ xx
.············································································ 2 分
2
)1(
e
)(
x
x
xf
x
. ···································································································· 4 分
令
0)(
xf
，得
1x
或
01 x
，
)( xf
的单调递减区间为
)1( ,
，
)01( ,
. ·····························································7 分
（Ⅱ）
)1( ,x
,
1)(
1
e
xm
x
x
，
01 x
2
)1(
e
x
m
x
. ································9 分
设
2
)1(
e
)(
x
xg
x
，
)1( ,x
，
3
)1(
)1(e
)(
x
x
xg
x
. ···················································11 分
令
0)(
xg
，则
1x
.
当
11 x
时，
0)(
xg
，
)( xg
在
)1,1(
上单调递减；
摘要：
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第1页共6页吉林地区普通高中2024—2025学年度高三年级第二次模拟考试数学学科参考答案一、单选题：本大题共8题，每小题5分，共40分。12345678CBACBCAD8.教学提示令)]([*Ntxt，则ttkln.原不等式的解集对应区间的长度为1，不等式ttkln的正整数解有且只有一个.易知xxxfln)(在)e,0(上单调递增，),e(上单调递减，又22ln)4()2(33ln)3(fff，，33ln22lnk.二、多选题：本大题共3题，每小题6分，共18分。91011ACBCDACD10.教学提示D.易证xxsin.nxnxxxfnsin1sin221...
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