机器人原理及控制技术第03章 运动学方程
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第三章 运动学方程
Chapter Ⅲ Kinematic Equations
3.1 引言 3.8 T6的说明
3.2 姿态描述 3.9 各种 A 矩阵的说明
3.3 欧拉角 3.10 根据 A 矩阵来确定 T6
3.4 摇摆、俯仰和偏转 3.11 斯坦福机械手的运动方程
3.5 位置的确定 3.12 肘机械手的运动方程
3.6 圆柱坐标 3.13 小结
3.7 球坐标
3.1 引言 ( Introduction )
本章，我们采用齐次变换来描述在各种坐标系中机械手的位置与方向。首先介绍各
种正交坐标系的齐次变换。然后介绍在非正交关节坐标系中描述机械手末端的齐次变换。
注意，对任何数目关节的各种机械手均可以这样进行。
描述一个连杆与下一个连杆之间关系的齐次变换称 A矩阵。 A矩阵是描述连杆坐
标系之间的相对平移和旋转的齐次变换。
连续变换的若干 A矩阵的积称为 T矩阵，对于一个六连杆（六自由度）机械手有
T6 = A1 A2 A3 A4 A5 A6 （3.1 ）
六连杆的机械手有六个自由度，其中三个自由度用来确定位置，三个自由度用来确
定方向。Ｔ６表示机械手在基坐标中的位置与方向。则变换矩阵Ｔ６有下列元素
nx ox ax px
ny oy ay py
T6 = nz oz az pz （3.2 ）
0 0 0 1
如图 3.1 所示，机器人
的末端执行器（手爪）的姿态
（方向）由 n、o、a 三个旋
转矢量描述，其坐标位置由平
移矢量 p 描述，这就构成了
式（ 3.2 ）中的变换矩阵 T。
由于 n、o、a 三
个旋转矢量是正交矢量，所以
有
n = o×a 图3.1 末端执行器的描述
3.2 姿态描述 ( Specification of Orientation )
对式（ 3.2 ）中 16 个元素一一赋值就可确定 T6。假定机械手可以到达
要求的位置，而单位旋转矢量 o和a正交，即
o·o ＝ 1
（ 3.3 ）
a·a ＝ 1
（ 3.4 ）
o·a ＝ 0
（3.5 ）
a 形成单位向量
a
a （3.
6）
| a |
构成与 o和a正交的 n
n o×a
（ 3.7 ）
在 o和a形成的平面上旋转 o，使得 o与n和a正交
o a×n
（3.8 ）
单位向量 o是
o
o
（3.9 ）
| o |
根据第二章给出的一般性的旋转矩阵Ｒ ot (k ,θ)，它把机械手
末端的姿态规定为绕 k轴旋转 θ角。
3. ３欧拉角 ( Euler Angles )
姿态变更常用绕 x,y 或z轴的一系列旋转来确定。欧拉角描述
方法是：先绕 z轴旋转 ø，然后绕新的 y( 即y/)轴旋转 θ，最后绕
更新的 z(z//)轴旋转 ψ（见图 3.2 ）欧拉变换 Euler(ø,θ,ψ)可以通过
连乘三个旋转矩阵来求得
Euler(ø,θ,ψ) ＝Ｒ ot(z,ø)Ｒot(y,θ)Ｒot(z,ψ) （3.10 ）
在一系列旋转中，旋转的次序是重要的。应注意，旋
转序列如果按相反的顺序进行，则是绕基坐标中的轴旋转：绕 z轴
旋转 ψ ，接着绕 y轴旋转 θ，最后再一次绕 z轴旋转 ø ，结果如
图3.3 所示，它与图 3.2 是一致的。
x
x’
x’’
x’’’
y
y’’
y’
θ
ø
θ
ø
ψ
ψ
ψ
θ
z’’’
z’’
z’
z
y’’’
图 3.2 欧拉角
ø
0
x
x’
x’’
x’’’
y
y’’
y’
θ
ø
θ
ø
ψ
ψ
ψ
θ
z’’’
z’’
z’
z
y’’’
图 3.3 基于基坐标的欧拉
角
ø
0
ø
θ
3.4 摇摆、俯仰和偏转 ( Roll, Pitch and Yaw )
摇摆、俯仰和偏转为另一种旋转。如图 3.4 所示，就像水中航行的一条小船
一样，绕着它前进的方向（ z 轴）旋转 ø 称为摇摆，绕着它的横向中轴（ y 轴）
旋转 θ 称为俯仰，绕着它甲板的垂直向上的方向（ x 轴）旋转
ψ
称为偏转。借
助于这种旋转来描述机械手的末端执行器如图 3.5 所示。规定旋转的次序为
RPY(ø,θ,ψ)＝Ｒ ot(z,ø)Ｒot(y,θ)Ｒot(x,ψ) （3.12 ）
即，绕 x轴旋转 ψ，接着绕 y轴旋转 θ，最后绕 z轴旋转 ø ，这个变换如下
cosθ 0 sinθ 0 1 0 0 0
0 1 0 0 0 cosψ –sinψ 0
RPY(ø,θ,
ψ
) = Ｒot(z,ø) –sinθ 0 cosθ 0 0 sinψ cosψ 0 （3.13 ）
0 0 0 1 0 0 0 1
cosø –sinø 0 0 cosθ sinθsinψ sinθcosψ 0
sinø cosø 0 0 0 cosψ –sinψ 0
RPY(ø,θ,
ψ
) = 0 0 1 0 -sinθ cosθsinψ cosθcosψ 0 （3.14 ）
0 0 0 1 0 0 0 1
图3.4 摇摆、俯仰和偏 转
角
图3.5 机械手的末端执行器
的摇摆、俯仰
和偏 转
摘要：
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第三章运动学方程ChapterⅢKinematicEquations3.1引言3.8T6的说明3.2 姿态描述3.9各种A矩阵的说明3.3 欧拉角3.10根据A矩阵来确定T63.4摇摆、俯仰和偏转3.11斯坦福机械手的运动方程3.5位置的确定3.12肘机械手的运动方程3.6圆柱坐标3.13小结3.7球坐标3.1引言(Introduction)本章，我们采用齐次变换来描述在各种坐标系中机械手的位置与方向。首先介绍各种正交坐标系的齐次变换。然后介绍在非正交关节坐标系中描述机械手末端的齐次变换。注意，对任何数目关节的各种机械手均可以这样进行。描述一个连杆与下一个连杆之间关系的齐次变换称A矩阵。A矩阵...
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