机器人原理及控制技术第02章 齐次变换

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第二章 齐次坐标变换
ChapterⅡ Homogeneous Transformation
2.1 引言 2.2 点向量和平面的描述
2.3 变换 2.4 平移变换
2.5 旋转变换 2.6 坐标系
2.7 相对变换 2.8 物体的描述
2.9 逆变换 2.10 一般性旋转变换
2.11 等价旋转角与旋转轴 2.12 扩展与缩小
2.13 透视变换 2.14 变换方程
2.15 小结
2.1 引言 (Introduction)
机器人操作涉及到各物体之间的关系和各物体与机械手之间的
关系。这一章将给出描述这些关系必须的表达方法。类似这种表示
方法在计算机图形学中已经解决。在计算机图形学和计算机视觉中，
物体之间的关系是用齐次坐标变换来描述的。在本课程我们将采用
齐次坐标变换来描述机械手各关节坐标之间、各物体之间以及各物
体与机械手之间的关系。
本章首先介绍向量和平面的表示方法，然后引出向量和平面的
坐标变换，这些变换基本上是由平移和旋转组成，因此可以用坐标
系来描述各种物体和机械手的空间位置和姿态。稍后还要介绍逆变
换，逆变换是运动学求解的基础。
a
0
v
z
y
xz
y
x
p
c
b
0
u
E
H
图2.1 点向量的描述
•
2.2 点向量和平面的描述（Notation of point vectors and plane
s）
2.2.1 点向量（ Point vectors ）
点向量描述空间的一个点在某个坐标系的空
间位置。同一个点在不同坐标系的描述及位置向量的值也
不同。如图 2.1 中，点 p在E坐标系上表示为 Ev，在 H坐
标系上表示为 Hu，且 v ≠ u 。一个点向量可表示为
v = ai + bj + ck
通常用一个（ n + 1 ）维列矩阵表示，即除
x、y、z 三个方向上的分量外，再加一个比例因子 w ，
即
v = [ x y z w ]T
其中 a = x/w, b = y/w, c = z/w 。
改变比例因子 w，则分量 a、b、c 的数值相应改变，但描述的还是同一个点
向量。如 v = 3i + 4j + 5k 可表示为
v = [ 3 4 5 1 ]T = [ 6 8 10 2 ]T = [ -3 -4 -5 -1]T
在向量中增加一个比例因子 w 是为了方便坐标变换中的矩阵运算。
已知两个向量
a = ax i + ay j + az k
b = bx i + by j + bz k （2.1 ）
向量的点积是标量。用“ · ” 来定义向量点积，即
a · b = ax bx + ay by + az bz （2.2 ）
向量的叉积是一个垂直于由叉积的两个向量构成的平面的向
量。用“ ×” 表示叉积，即
a × b = ( ay bz ¯ az by ) i + ( az bx ¯ ax bz ) j + ( ax by ¯ ay by ) k （ 2.3 ）
可用行列式表示为
i j k
a × b = ax ay az （2.4 ）
bx by bz
2.2.2 平面（ Planes ）
平面可用一个行矩阵表示，即
p = [ a b c d ] （2.5 ）
它表示了平面 p的法线方向，且距坐标原点的
距离为－ d / m ，其中
m = （2.6 ）
如图 2.2 所示，如果将 x－y 平面沿 z 轴正
方向平移一个单位距离，构成平面 p，则
p = [ 0 0 1 -1]
即 a = 0, b = 0, c = 1, d = -1, m = = 1
平面 p上任一点 v为 v = [ x y 1 1 ]T，它与平面 p的点乘为零，即 p • v = 0
平面 p上方任一点 v，如 v = [ 0 0 2 1 ]T，它与平面 p的点乘为一个正数，即 p • v = 1
平面 p下方任一点 v，如 v = [ 0 0 0 1 ]T，它与平面 p的点乘为一个负数，即 p • v = -1
注意：平面 [ 0 0 0 0 ] 无定义。
a2 + b2 + c2
a2 + b2 + c2
图2.2 平面的描
述
0
•v
p
z
y
x
1
y
x
H空间的变换是由 4×4矩阵来完成的，它可以表示平移、旋转、扩展和透视等
各种变换。如已知点 u（在平面 p上） ,它的变换 v（在平面 q上）用矩阵积表示为
v = H u （2.7 ）
其中 H为4×4 变换矩阵， u和v为4×1的点列向量，相应的平面 p到q的变换
是
q = p H-1 （2.8 ）
其中 H-1为H的逆阵， p和q为1×4 的平面行向量。
经变换后的平面向量 q与点向量 v的点乘为
q · v = p H-1 · H u ＝ p · u （ 2.9 ）
与变换前平面 p与点 u的点乘相等，证明了变换的等效性。
2.3 变换 (Transformation)
2.4 平移变换（ Translation transformation ）
用向量 h ＝ a i + b j + c k 进行平移，其相应的 H变换矩阵是
1 0 0 a
0 1 0 b
H = Trans ( a b c ) = 0 0 1 c (2.10)
0 0 0 1
因此对向量 u = [ x y z w ]T，经 H变换为向量 v可表示为
x + aw x / w + a
y + bw y / w + b
v = z + cw = z / w + c (2.11)
w 1
可见，平移实际上是对已知向量 u = [ x y z w ]T 与平移向
量 h = [ a b c 1 ]T 相加。
摘要：

第二章齐次坐标变换ChapterⅡHomogeneousTransformation2.1引言2.2点向量和平面的描述2.3变换2.4平移变换2.5旋转变换2.6坐标系2.7相对变换2.8物体的描述2.9逆变换2.10一般性旋转变换2.11等价旋转角与旋转轴2.12扩展与缩小2.13透视变换2.14变换方程2.15小结2.1引言(Introduction)机器人操作涉及到各物体之间的关系和各物体与机械手之间的关系。这一章将给出描述这些关系必须的表达方法。类似这种表示方法在计算机图形学中已经解决。在计算机图形学和计算机视觉中，物体之间的关系是用齐次坐标变换来描述的。在本课程我们将采用齐次坐标变换...

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