专题11方程的实际应用模型（解析版）

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专题 11 方程的实际应用模型

题型解读｜模型构建｜通关试练

本专题主要对初中阶段的方程应用题型进形总结分析，收集汇总各地市常考的方程应用题型，主要分

为一元一次方程，二元一次方程组，分式方程，一元二次方程几大题型。考试中我们可以看出二元一次方

程组和分式方程考试频率较高。一元一次方程相对基础较为简单，应用题型中出现较少，一元二次方程的

应用综合性较高除了在应用题型中有所体现，在二次函数的应用中也经常出现。本专题根据考试题型分类

归纳总结。

模型 01 一元一次方程的应用

一元一次方程的应用题型

1.行程问题

路程=时间×速度，时间=路程÷速度，速度=路程÷时间；

（单位：路程——米、千米；时间——秒、分、时；速度——米/秒、米/分、千米/时间）

2.工程问题：

工作总量=工作时间×工作效率，工作总量=各部分工作量的和

3.利润问题：

利润=售价－进价，利润率=利润÷进价，售价=标价×折扣

4.等积变形问题

长方体的体积=长×宽×高；圆柱的体积=底面积×高；锻造前的体积=锻造后的体积

5.利息问题

利息和=本金+利息；利息=本金×利率×时间

模型 02 二元一次方程组应用

二元一次方程组应用：

1.行程问题：速度×时间＝路程

顺水速度＝静水速度＋水流速度

逆水速度＝静水速度－水流速度

2.配套问题：实际数量比＝配套比

3.商品销售问题：利润＝售价－进价；售价＝标价×折扣；利润率＝利润÷进价×100%

4.工程问题：工作效率×工作时间＝工作总量；甲乙合作效率＝甲的效率＋乙的效率

模型 03 分式方程应用

分式方程的应用解法步骤及题型：

列分式方程解应用题的一般步骤，与列整式方程解应用题的步骤一样，都是按照审、设、列、解、验、答

六步进行．

（1）在利用分式方程解实际问题时，必须进行 “双检验”，既要检验去分母化成整式方程的解是否为分

式方程的解，又要检验分式方程的解是否符合实际意义.

（2）分式方程应用题常见类型有行程问题、工作问题、销售问题等，其中行程问题中又出现逆水、顺水

航行这一类型.

模型 04 一元二次方程应用

一元二次方程的应用主要有以下几种题型：

1.数字问题：个位数为 a，十位数是 b，则这个两位数表示为 10b+a．

2.增长率问题：增长率＝增长数量/原数量×100%．如：若原数是 a，每次增长的百分率为 x，则第一次增长

后为 a（1+x）；第二次增长后为 a（1+x）2，即原数×（1+增长百分率）2＝后来数．

3.形积问题：①利用勾股定理列一元二次方程，求三角形、矩形的边长．②利用三角形、矩形、菱形、梯

形和圆的面积，以及柱体体积公式建立等量关系列一元二次方程．③利用相似三角形的对应比例关系，列

比例式，通过两内项之积等于两外项之积，得到一元二次方程．

4.运动点问题：物体运动将会沿着一条路线或形成一条痕迹，运行的路线与其他条件会构成直角三角形，

可运用直角三角形的性质列方程求解．

5. 利润(销售)问题

利润(销售)问题中常用的等量关系：

利润=售价-进价(成本)

总利润=每件的利润×总件数

模型 01 一元一次方程的应用

考｜向｜预｜测

一元一次方程的应用该题型近年主要以应用题形式出现，一般为应用题型的第一问，难度系数较小，

在各类考试中基本为送分题型。解这类问题的关键是根据题意设未知量、列方程、解方程，其中列方

程是解题的核心，一般需要我们很好的理解题意。

答｜题｜技｜巧

第一步：审:弄清题意，分清已知量和未知量，明确各数量间的关系

第二步：设:设未知数，并且用含未知数的代数式表示与所列方程有关的数量列 :根据题目中的数量关

系、相等关系、倍数关系以及若干倍多或少个数字列方程；

第三步：解:解所列的方程，求出未知数的值以及题目中所要求的相关数量的值验:检验所求的解是否

符合题意，是否符合实际意义。

例1. （2023·上海）一项工程，甲单独做需 10 天完成，乙单独做需 6天完成，现由甲先做 3天，乙再加入

合做，还需几天完成这项工程？设还需天完成这项工程，由题意列方程是（）

A．B．

C．D．

【答案】D

【详解】解：由题意知，甲在这项工程中做了天，

则得方程：；

故选：D．

例2．（2023·吉林长春）列方程解应用题

劳动课上王老师带领七（1）班45 名学生制作圆柱形小鼓，其中男生人数比女生人数少 7人，并且每名学

生每小时可制作2个鼓身或剪6个鼓面．

(1)男生有______人，女生有______人．

(2)①老师组织全班学生制作小鼓，要求一个鼓身配两个鼓面，为了使每小时制作的鼓身与剪出的鼓面刚好

配套，应该分配多少名学生制作鼓身？多少名学生剪鼓面？

② 若想每小时制作78 个小鼓，且制作的鼓身与剪出的鼓面刚好配套，应再加入多少名学生？请你思考此

问题，直接写出结果和新加入人员具体的分配方案．

【答案】(1)19，26

(2)①分配27 名学生制作鼓身，18 名学生剪鼓面；②新加入 20 人，其中 12 人制作鼓身，8人制作鼓面．

【详解】（1）解：设男生有x人，则女生有人，

根据题意，得，

解得，

∴，

故答案为：19，26；

（2）解：①设分配 m名学生制作鼓身，则名学生剪鼓面，

由题意，得，

解得，

则，

答：应分配 27 名学生制作鼓身，18 名学生剪鼓面；

②由①知分配 27 名学生制作鼓身，18 名学生剪鼓面，则 1小时可制作小鼓个，还需制作

个小鼓，

所以应再加入制作鼓身人，制作鼓面人．

则新加入人，其中 12 人制作鼓身，8人制作鼓面．

模型 02 二元一次方程组应用

考｜向｜预｜测

二元一次方程组应用该题型主要以选择、填空形式出现，难度系数不大，在各类考试中得分率较高。

掌握二元一次方程组的解法是考试的重点，二元一次方程组的解法主要采用消元法，在应用题型中，

根据题意列二元一次方程组相对简单，该题型设两个未知量，两个条件两个方程，相对直观，只要我

们在解方程组的过程中不出现失误，一般不会失分。

答｜题｜技｜巧

第一步：

“审”是指读懂题目，弄清题意，明确哪些是已知量，哪些是未知量，以及它们之间的关系，

寻找等量关系；

第二步： “设”就是设未知数，一般求什么就设什么为 x，但有时也可以间接设未知数；

第三步：

“列”就是列方程，即列代数式表示相等关系中的各个量，列出方程，同时注意方程两边是同

一类量，单位要统一；

第四步：

“解”就是解方程，求出未知数的值；

第五步：

“答”就是写出答案，注意单位要写清楚．

例1．（2023·黑龙江哈尔滨）一种商品有大、小盒两种包装，3大盒、4小盒共装 108 瓶，2大盒、3小盒

共装 76 瓶．大盒与小盒各装多少瓶？若设大盒每盒装 x瓶，小盒每盒装 y瓶，则可列方程组得（

）

A．B．C．D．

【答案】C

【详解】解：设大盒装 x瓶，小盒装 y瓶，根据题意可列方程组为：，

故选：C．

例2．（2023·安徽）某校准备租车运送 450 名学生去合肥市园博园，已知租 1辆甲型客车和2辆乙型客车

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摘要：

专题11方程的实际应用模型题型解读｜模型构建｜通关试练本专题主要对初中阶段的方程应用题型进形总结分析，收集汇总各地市常考的方程应用题型，主要分为一元一次方程，二元一次方程组，分式方程，一元二次方程几大题型。考试中我们可以看出二元一次方程组和分式方程考试频率较高。一元一次方程相对基础较为简单，应用题型中出现较少，一元二次方程的应用综合性较高除了在应用题型中有所体现，在二次函数的应用中也经常出现。本专题根据考试题型分类归纳总结。模型01一元一次方程的应用一元一次方程的应用题型1.行程问题路程=时间×速度，时间=路程÷速度，速度=路程÷时间；（单位：路程——米、千米；时间——秒、分、时；速度——米/...

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