专题05 立体几何（选填题）（文科）（解析版）

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五年（2019-2023）年高考真题分项汇编
专题 05 立体几何（选填题）
立体几何在文科数高考中属于重点知识点，难度中等。包含题型主要是
1 空间几何体基本性质及表面积体积
2 空间几何题三视图
4 空间几何体内切球外接球的应用
5 空间几何体性质综合应用
考点 01 空间几何体基本性质及表面积体积
1．（2023·年全国甲卷）在三棱锥 中， 是边长为 2的等边三角形， ，
则该棱锥的体积为（）
A．1 B．C．2 D．3
1．A【分析】证明 平面 ，分割三棱锥为共底面两个小三棱锥，其高之和为 AB 得解.
【详解】取 中点 ，连接 ，如图，

是边长为 2的等边三角形， ，
，又 平面 ， ，
平面 ，
又 ， ，
故 ，即 ，
所以 ，
2
故选：A
2．（2023·北京·统考高考真题）坡屋顶是我国传统建筑造型之一，蕴含着丰富的数学元素．安装灯带可以
勾勒出建筑轮廓，展现造型之美．如图，某坡屋顶可视为一个五面体，其中两个面是全等的等腰梯形，两
个面是全等的等腰三角形．若 ，且等腰梯形所在的平面、等腰三角形所在的平面
与平面 的夹角的正切值均为 ，则该五面体的所有棱长之和为（）

A．B．
C．D．
2．C
【分析】先根据线面角的定义求得 ，从而依次求 ， ， ， ，再把所
有棱长相加即可得解.
【详解】如图，过 做 平面 ，垂足为 ，过 分别做 ， ，垂足分别为 ，
，连接 ，

由题意得等腰梯形所在的面、等腰三角形所在的面与底面夹角分别为 和 ，
所以 .
因为 平面 ， 平面 ，所以 ，
因为 ， 平面 ， ，
所以 平面 ，因为 平面 ，所以 ，.
同理： ，又 ，故四边形 是矩形，
所以由 得 ，所以 ，所以 ，
所以在直角三角形 中，
在直角三角形 中， ， ，
3
又因为 ，
所有棱长之和为 .
故选：C
3．（2022·全国乙卷）在正方体 中，E，F分别为 的中点，则（）
A．平面 平面 B．平面 平面
C．平面 平面 D．平面 平面
3．A
【分析】证明 平面 ，即可判断 A；如图，以点 为原点，建立空间直角坐标系，设 ，分
别求出平面 ， ， 的法向量，根据法向量的位置关系，即可判断 BCD.
【详解】解：在正方体 中，
且 平面 ，
又 平面 ，所以 ，
因为 分别为 的中点，
所以 ，所以 ，
又 ，
所以 平面 ，
又 平面 ，
所以平面 平面 ，故 A正确；
选项 BCD 解法一：
如图，以点 为原点，建立空间直角坐标系，设 ，
则 ，
，
则 ， ，
设平面 的法向量为 ，
则有 ，可取 ，
同理可得平面 的法向量为 ，
平面 的法向量为 ，
4
平面 的法向量为 ，
则，
所以平面 与平面 不垂直，故 B错误；
因为 与 不平行，
所以平面 与平面 不平行，故 C错误；
因为 与 不平行，
所以平面 与平面 不平行，故 D错误，
故选：A.
选项 BCD 解法二：
解：对于选项 B，如图所示，设 ， ，则 为平面 与平面 的交线，
在 内，作 于点 ，在 内，作 ，交 于点 ，连结 ，
则 或其补角为平面 与平面 所成二面角的平面角，
由勾股定理可知： ， ，
底面正方形 中， 为中点，则 ，
由勾股定理可得 ，
从而有： ，
5
据此可得 ，即 ，
据此可得平面 平面 不成立，选项 B错误；
对于选项 C，取 的中点 ，则 ，
由于 与平面 相交，故平面 平面 不成立，选项 C错误；
对于选项 D，取 的中点 ，很明显四边形 为平行四边形，则 ，
由于 与平面 相交，故平面 平面 不成立，选项 D错误；
故选：A.
4．（2022·全国甲卷）在长方体 中，已知 与平面 和平面 所成的角均为
，则（）
A．B．AB 与平面 所成的角为
C．D． 与平面 所成的角为
4．D
【分析】根据线面角的定义以及长方体的结构特征即可求出．
【详解】如图所示：
摘要：

1五年（2019-2023）年高考真题分项汇编专题05立体几何（选填题）立体几何在文科数高考中属于重点知识点，难度中等。包含题型主要是1空间几何体基本性质及表面积体积2空间几何题三视图4空间几何体内切球外接球的应用5空间几何体性质综合应用考点01空间几何体基本性质及表面积体积1．（2023·年全国甲卷）在三棱锥中，是边长为2的等边三角形，，则该棱锥的体积为（    ）A．1B．C．2D．31．A【分析】证明平面，分割三棱锥为共底面两个小三棱锥，其高之和为AB得解.【详解】取中点，连接，如图，  是边长为2的等边三角形，，，又平面，，平面，又，，故，即，所以，2故选：A2．（2023·北京·统考...

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