微气候环境模拟实验室用温度控制系统设计

2025-04-26 2 0 348.25KB 7 页 10玖币

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拟连续 domain 上的广义理想收敛

王武 1，谭彬 2，张舜 3

（1.天津理工大学中环信息学院基础课部，天津 300380；2.天津理工大学理学院，天津 300384；3.天津仁爱学院数理

教学部，天津 300163）

摘要：在定向完备偏序集中引入了广义理想下极限和广义理想终下界极限的概念，并研究了其与 Scott 拓扑和 Lawson

拓扑的关系. 主要结果有：(1)在定向完备偏序集上，广义理想下极限拓扑与 Scott 拓扑一致；(2) 广义理想下极限收敛是拓

扑的当且仅当定向完备偏序集是拟连续 domain；(3)在拟连续 domain 中，广义理想终下界极限拓扑与 Lawson 拓扑一致，并

给出了定向完备偏序集为连续 domain 的一个充分条件.

关键词：拟连续偏序集；广义理想下极限；广义理想终下界极限；Scott拓扑；Lawson拓扑

中图分类号：O153.1；O189.1 文献标志码：A文章编号：

Generalized ideal convergence on quasi-continuous domains

WANG Wu1, TAN Bin2, ZHANG Shun3

(1.Basic Course Department of Zhonghuan Information College Tianjin University of Technology，tianjin 300380，China；

2. College Science of Tianjin University of Technology，tianjin 300384，China;

3.Mathematics Teaching Department of Tianjin Ren'ai College，tianjin 301636，China)

Abstract: In this paper，the concepts of generalized ideal inf-limit and generalized ideal final lower bound

limit are introduced in the directed complete poset, and their relations with Scott topology and Lawson topology

are studied. The main results are as follows: (1) On directed complete posets, generalized ideal inf-limit topology

is consistent with Scott topology; (2) Generalized ideal inf-limitis convergence is topological if and only if

directed complete posets are quasi-continuous domains; (3) In quasi-continuous domain, generalized ideal final

lower bound limit topology is consistent with Lawson topology, and a sufficient condition of continuous domain

is given.

Key words: quasi-continuous domain；generalized ideal inf-limit；generalized ideal final lower bound limit；

Scott topology；Lawson topology

偏序集理论作为重要的数学分支之一，旨在为计算机高级程序设计语言提供数学模型，受到了计算机

科学和数学领域诸多学者的关注，并得到了很多有价值的结论和模型[1-6]. 随着计算机理论的发展，偏序

集理论不断向信息科学、逻辑学、分析学及各种应用学科渗透[7-8].Domain 和拟连续 Domain 作为特殊的

偏序结构，有很多良好的性质和特征，并且在理论计算机中的应用更加广泛[9]，如李高林等给出了拟连续

domain 的拟基的概念，并研究了拟基的一些性质[10]；赵浩然等研究了拟连续 domain 的函数空间[11]，并说

明了由拟连续 domain 作为对象，Scott 连续函数作为映射的范畴不是 Cartesian 闭范畴；徐晓泉[12]等研究

了拟连续 domain 上Lawson 拓扑的紧性. 网的收敛是拓扑空间中的重要工具，可以完全刻画拓扑空间。

本文利用定向集的理想定义了网的广义理想下极限和广义理想终下界极限，并研究了其与 Scott 拓扑和

Lawson 拓扑的关系. 主要结果有：(1)在定向完备偏序集上，广义理想下极限拓扑与 Scott 拓扑一致；(2) 广

义理想下极限收敛是拓扑的当且仅当定向完备偏序集是拟连续 domain；(3)在拟连续 domain 中，广义理想

终下界极限拓扑与 Lawson 拓扑一致，并给出了定向完备偏序集为连续 domain 的等价刻画. 本文结果有

助于 domain 理论的进一步研究.

1 预备知识

收稿日期：2022-09-24

基金项目：国家青年自然科学基金(11401435)；天津市教委科研计划项目(2018KJ147)；2021 年高等学校大学数学教学研究与发展中心教学改革项

目(CMC20210115).

作者简介：王武（1985-），男，河北秦皇岛人，副教授，主要从事理论计算机，domain 理论，模糊数学研究.

首先，介绍偏序集中的一些基本概念[12].设

是偏序集，

D L

，如果

中任意两个元在

中有上

界，则称

为定向集.如果

的每个定向子集

都有上确界(记为

sup D

)，则称

为定向完备偏序集(简

称

dcpo

). 任给

A L

，记

{ : , }A x L a A a x     

，

{ : , }A x L a A x a     

；若

为单点集

{ }a

，则有记号

A a 

，

A a 

.设

是定向完备偏序集，

,x y L

，

D L

是定向集，如果

supy D

蕴含

D x   

，则

x y

，记

{ : }x y y x  

.如果任意

x L

，集合

x

是定向的并且

x x  

，则称

为连续的，称连续的定向完备偏序集为 domain 或连续 domain.

设

是定向完备偏序集，

,G H

是

的两个非空子集.如果

H G

，则

G H

，称这种序关系为

Symth 序，Symth 序是一种预序关系.如果对任意的定向集

D L

，

sup D H

蕴含存在

d D

使得

d G

，则称

逼近

，记为

G H

.特别的，

{ }y H

简记为

y H

，

{ }G x

简记为

G x

.显

然，

G H

蕴含

h H 

，

G h

.易知上述定义的逼近关系有如下性质：(1)

G H

蕴含

G H

；(2)

G E F H 

蕴含

G H

令

( )

表示

的所有非空有限子集构成的集族.设非空集族

( )

wL

，如果任给

,E F F

存

在有限集

HF

满足

H E F   

，则称

为定向集族.设

是定向完备偏序集，如果任意

x L

，

集族

( ) { ( ) : }

fin x F L F x  

是定向集族且

( )F fin x

x F



  

，则称

是拟连续 domain. 拟连续

domain 的等价刻画是：存在定向集族

( )fin xF

使得

x F



  F

定义 1[13] 设

是偏序集.

(1) 任给子集

U L

，如果

U U

且对任意的定向集

D L

，

sup D U

蕴含

D U  

，则称

为Scott 开集.所有的 Scott 开集构成一个拓扑，称为 Scott 拓扑，记为

( )L



；

(2) 以主滤子的补

\L x

为子基生成的拓扑称为下拓扑，记为

( )L



；

(3) 称由

( )L



和

( )L



共同加细的拓扑

( ) ( )L L

 



为Lawson 拓扑，记为

( )L



设

是定向完备偏序集，

x L

，

D L

是定向集，如果

supx D

蕴含

( )x cl x D



   

，则称

是交连续的.

是交连续的当且仅当任意

x L

，

( )U L





，

( ) ( )U x L



   

.定向完备偏序集是连

续的当且仅当它既是交连续的又是拟连续的[13].

命题 1[13] 设

是拟连续 domain，记

{ : }F x F x  

，则

(1) 任意

x L

，

为

的有限子集。如果

H x

，则存在有限集

F L

使得

H F x 

；

(2)

( )

int ( )

LF F



 

，其中

( )

int ( )





表示

F

在Scott 拓扑

( )L



中的内部；

(3)

{ : ( )}

F F L 

为Scott 拓扑

( )L



的基.

设

是一个集合，如果

的子集族

满足下列条件：(1)

A

，

B A

蕴含

B

；(2)

,A B 

蕴含

A B 

，则称

是

的一个理想.如果

M

，则称

是

的非平凡理想.令

是定向集，

{ ' : ' }

M j J j j  

，则

0{ : \ }

A J A J M  

是非平凡理想.显然任意有限集

E M

，

e E

，

{ ' : ' }

e E

M j J j E M   

，则

\ \

E e

A J M J M 

，则

J M 

定义 2[14] 设

是偏序集，

( )

j j J

x

是

中的一个网，

是

的理想，

x L

.如果存在定向集

D L

使得下列条件成立：(1)

supx D

；(2)任意的

d D

，

{ : }

j J x d  

.则称网

( )

j j J

x

是理想下极

限收敛到

.也称

是

( )

j j J

x

的理想下极限，记为

( )

j j J

x x



.设

是

的理想，令

lim inf { : ( )

L j j J

U L x x



 



  

，

x U

，则

{ : }

j J x U  

}

命题 2[14] 设

是偏序集，则

lim infI

L L

 

 



显然，如果

是定向完备偏序集，

lim infI

L L

 

 



定义 3[14] 设

是拓扑空间，

( )

j j J

x

是

中的一个网，

是

的理想，若

x U

，

{ : }

j J x U  

，

则称网

( )

j j J

x

是理想收敛到

的.也称

是

( )

j j J

x

的理想极限，记为

( )

j j J

x x



易知，拓扑空间

中的网

( )

j j J

x

收敛到

当且仅当

( )

j j J

x x



命题 3[15] (Rudin 引理)设

是偏序集，

( )

wLF

是定向集族.那么存在定向集

D F



F

满足

D F  

对所有

FF

成立．

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摘要：

拟连续domain上的广义理想收敛王武1，谭彬2，张舜3（1.天津理工大学中环信息学院基础课部，天津300380；2.天津理工大学理学院，天津300384；3.天津仁爱学院数理教学部，天津300163）摘要：在定向完备偏序集中引入了广义理想下极限和广义理想终下界极限的概念，并研究了其与Scott拓扑和Lawson拓扑的关系.主要结果有：(1)在定向完备偏序集上，广义理想下极限拓扑与Scott拓扑一致；(2)广义理想下极限收敛是拓扑的当且仅当定向完备偏序集是拟连续domain；(3)在拟连续domain中，广义理想终下界极限拓扑与Lawson拓扑一致，并给出了定向完备偏序集为连续domain的一...

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