2017 年数学竞赛预赛（非数学类）试题评分标准及参考答案

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2017 年数学竞赛预赛（非数学类）试题评分标准及参考答案
一 1. 已知可导函数 满足 , 则
()fx
解： 在方程两边求导得
'( )cos + ( )sin 1f x x f x x =
,
'( )+ ( )tan secf x f x x x=
.
从而
tan tan
( ) sec
xdx xdx
f x e xe dx c
−

=+


lncos lncos
2
11
= =cos
cos cos
xx
e e dx c x dx c
xx
−−
 
++
 
 

( )
=cos tan =sin cosx x c x c x++
由于
(0) 1f=
，故
。
2．求
()
nn
n+
→
22
sinlim
解 由于
()
=+ nn22
sin
()
nnn −+
22
sin
=
2
2
sin 1
n
n n n

→

++

。
3. 设
( , )w f u v=
具有二阶连续偏导数，且
= = +u x cy v x cy−，
，其中
c
为非零常数。则
2
1
xx yy
ww
c
−
=_________。
解:
12
+
x
w f f=
，
11 12 22
2
xx
w f f f= + +
，
21
()
y
w c f f=−
，
( ) ( ) ( )
2
2 1 11 12 21 22 11 12 22
=2
yy
w c f f c cf cf cf cf c f f f
y
= − = − − + − +
。
所以
12
2
1=4
xx yy
w w f
c
−
。
4. 设
()fx
有二阶导数连续，且
(0) '(0) 0, "(0) 6f f f= = =
，则
2
4
0
(sin )
lim
x
fx
x
→
=______
解：
2
1
( ) (0) '(0) "( )
2
f x f f x f x
= + +
，所以
24
1
(sin ) "( )sin
2
f x f x
=
。
这样
24
44
00
(sin ) "( )sin
lim =lim 3
2
xx
f x f x
xx
→→ =
。
5不定积分
sin
2
sin2
(1 sin )
x
ex
I dx
x
−
=−
=________.
解: 由于
sin
2
sin cos
2(1 sin )
x
e x x
I dx
x
−
=−
sin
2
2(1 )
v
xv ve dv
v
−
=
=−
2
( 1 1)
2(1 )
v
ve
dv
v
−
−+
=−
2
22
1 ( 1)
vv
ee
dv dv
vv
−−
=+
−−

1
22
11
vv
edv e d
vv
−−
=−
−−

1
2 2 +
1 1 1
vv
v
ee
dv e dv
v v v
−−
−

=−

− − −


sin
22
+ = +
1 1 sin
vx
ee
CC
vx
−−
=− −−
。
6. 记曲面
2 2 2
z x y=+
和
22
4z x y= − −
围成空间区域为
V
，则三重积分
V
zdxdydz

=__________.
解：使用球面坐标
2 /4 2 2
0 0 0
/4 2
24
00
= cos sin
11
2 sin 2
24
V
I zdxdydz d d d

 
  
=
=  =
 
。
二（本题满分 14 分)
设二元函数
( , )f x y
在平面上有连续的二阶偏导数. 对任何角度
，定义一元函数
( ) ( cos , sin )g t f t t

=
.
若对任何
都有
(0) 0
dg
dt
=
且
2
2
(0) 0
dg
dt
. 证明
)0,0(f
是
( , )f x y
的极小值.
解： 由于
( )
(0,0)
cos
(0) ,0
sin
xy
dg ff
dt

==


对一切
成立，故
)0,0(),( )0,0( =
yx ff
, 即
)0,0(
是
( , )f x y
的驻点. -----4分
摘要：

2017年数学竞赛预赛（非数学类）试题评分标准及参考答案一1.已知可导函数满足,则解：在方程两边求导得,.从而由于，故。2．求解由于=。3.设具有二阶连续偏导数，且，其中为非零常数。则=_________。解:，，，。所以。4.设有二阶导数连续，且，则=______()fx'()cos+()sin1fxxfxx='()+()tansecfxfxxx=tantan()secxdxxdxfxexedxc−=+lncoslncos211==coscoscosxxeedxcxdxcxx−−++()=costan=sincosxxcxcx++(0)1f=()...

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