2017 年数学竞赛预赛（非数学类）试题评分标准及参考答案

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2025-03-03 11 0 598KB 7 页 5.9玖币

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一 1. 已知可导函数满足 , 则

()fx

解：在方程两边求导得

'( )cos + ( )sin 1f x x f x x =

'( )+ ( )tan secf x f x x x=

从而

tan tan

( ) sec

xdx xdx

f x e xe dx c

−









lncos lncos

= =cos

cos cos

e e dx c x dx c

−−

   

   

   



( )

=cos tan =sin cosx x c x c x++

由于

(0) 1f=

，故

( ) sin cosf x x x=+

。

2．求

()

→

sinlim



解由于

()

=+ nn22

sin



()



nnn −+

sin

sin 1

n n n





→





。

3. 设

( , )w f u v=

具有二阶连续偏导数，且

= = +u x cy v x cy−，

，其中

为非零常数。则

xx yy

−

=_________。

解:

w f f=

，

11 12 22

w f f f= + +

，

()

w c f f=−

，

( ) ( ) ( )

2 1 11 12 21 22 11 12 22

w c f f c cf cf cf cf c f f f



= − = − − + − +



。

所以

1=4

xx yy

w w f

−

。

4. 设

()fx

有二阶导数连续，且

(0) '(0) 0, "(0) 6f f f= = =

，则

(sin )

lim

→

=______

解：

( ) (0) '(0) "( )

f x f f x f x



= + +

，所以

(sin ) "( )sin

f x f x



。

这样

(sin ) "( )sin

lim =lim 3

f x f x



→→ =

。

5不定积分

sin

sin2

(1 sin )

I dx

−

=−



=________.

解: 由于

sin

sin cos

2(1 sin )

e x x

I dx

−

=−



sin

2(1 )

xv ve dv

−

=−



( 1 1)

2(1 )

−

−+

=−



1 ( 1)

dv dv

−−



edv e d

−−

=−

−−



2 2 +

1 1 1

dv e dv

v v v

−−

−



=−



− − −





sin

+ = +

1 1 sin

−−

=− −−

。

6. 记曲面

2 2 2

z x y=+

和

4z x y= − −

围成空间区域为

，则三重积分

zdxdydz



=__________.

解：使用球面坐标

2 /4 2 2

0 0 0

/4 2

= cos sin

2 sin 2

I zdxdydz d d d





      

   

=

=   =

   

。

二（本题满分 14 分)

设二元函数

( , )f x y

在平面上有连续的二阶偏导数. 对任何角度



，定义一元函数

( ) ( cos , sin )g t f t t



若对任何



都有

(0) 0



且

(0) 0





. 证明

)0,0(f

是

( , )f x y

的极小值.

解：由于

( )

(0,0)

cos

(0) ,0

sin

dg ff











对一切



成立，故

)0,0(),( )0,0( =

yx ff

, 即

)0,0(

是

( , )f x y

的驻点. -----4分

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摘要：

2017年数学竞赛预赛（非数学类）试题评分标准及参考答案一1.已知可导函数满足,则解：在方程两边求导得,.从而由于，故。2．求解由于=。3.设具有二阶连续偏导数，且，其中为非零常数。则=_________。解:，，，。所以。4.设有二阶导数连续，且，则=______()fx'()cos+()sin1fxxfxx='()+()tansecfxfxxx=tantan()secxdxxdxfxexedxc−=+lncoslncos211==coscoscosxxeedxcxdxcxx−−++()=costan=sincosxxcxcx++(0)1f=()...

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