第二届中国大学生数学竞赛预赛试卷答案

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第二届中国大学生数学竞赛预赛试卷
参考答案及评分标准
（非数学类，2010）
一（本题共 5小题，每小题 5分，共 25 分）、计算下列各题（要求写出重要步骤）.
(1)设2
(1 ) (1 ) (1 )
n
n
2
x
aa a=+⋅+ +，其中 1
<
|a| ，求.
n
nx
∞→
lim
解将n
x
恒等变形
22
1
(1 )(1 ) (1 ) (1 ) 1
n
n
xaaa a
a
=− +⋅+ +
−
22 2
1
(1 ) (1 ) (1 ) 1
n
aa a
a
=− ⋅+ + −
 44 2
1
(1 ) (1 ) (1 ) 1
n
aa a
a
=− ⋅+ +
−
1
2
1
1
n
a
a
+
−
=
−
，
由于 ，可知
1<|a| 2
lim 0
n
na
→∞
=
，从而

a
xn
n
=
∞→ 1
1
lim .
(2)求lim
x
x
xe
x
−
→∞
⎛⎞
+
⎜⎟
⎝⎠
2
1
1.
解 lim
x
x
xe
x
−
→∞
⎛⎞
+
⎜⎟
⎝⎠
2
1
1=1
1
lim 1
x
x
xe
x
−
→∞
⎡⎤
⎛⎞
+
⎢⎥
⎜⎟
⎝⎠
⎢⎥
⎣⎦
=1
exp lim ln 1 1
x
x
x
x
→∞
⎛⎞
⎡
⎤
⎛⎞
+−
⎜⎟
⎢
⎥
⎜⎟
⎜⎟
⎝⎠
⎢
⎥
⎣
⎦
⎝⎠
=1
exp lim ln 1 1
xxx x
→∞
⎛⎞
⎡
⎤
⎛⎞
+−
⎜⎟
⎜⎟
⎢
⎥
⎝⎠
⎣
⎦
⎝⎠
=22
11 1
exp lim ( ) 1
2
xxx xx x
ο
→∞
⎛⎞
⎡⎤
⎛⎞
−+ −
⎜⎟
⎜⎟
⎢⎥
⎝⎠
⎣⎦
⎝⎠
=2
1
−
e.
(3)设，求
0s>0
sx n
n
I
exdx
+∞ −
=∫(1,2,n)
=
.
解因为 时，
0s>lim 0
sx n
xex
−
→+∞
=
，所以，
1
0
00
11
n sx n sx sx n
n n
n
I
xde xe e dx I
ss
+∞ +∞
+∞
−−−
s
−
⎡⎤
=− =− − =
⎢⎥
⎣⎦
∫∫
由此得到， 120
1
1!
nn n nn
nnn nn
II I I
sss ss
−−
!
+
−
==⋅ ===
1
(4)设函数 f ( t )有二阶连续的导数， 22
rxy
=
+，1
(, ) ()gxy f r
=，求
22
22
.
gg
x
y
∂∂
+
∂∂
解因为 ,
rxry
x
ry r
∂∂
==
∂∂
，所以
3
1
()
gx
f
x
rr
∂′
=−
∂，
22 22
26 5
12 1
() ().
gx xy
ff
x
rr r r
∂−
′′ ′
=+
∂
利用对称性，
22
224 3
1111
() ()
gg ff
x
yr rr r
∂∂ ′′ ′
+= +
∂∂
(5)求直线 1
0
:0
xy
lz
−
=
⎧
⎨=
⎩
与直线 221
:42
xyz
l3
1
−
−−
==
−
−的距离.
解直线 的对称式方程为
1
l1:110
x
yz
l
=
=.记两直线的方向向量分别为
， ，两直线上的定点分别为 和 ，
.
1(1 0)l=
aP==

,1,
12
P
2(4,2,1)l=−−

(2,1,3)
1(0,0,0)P2(2,1,3)P
12(1,1,6)ll×=− −

.由向量的性质可知，两直线的距离
12
12
()|2118|191
2
1136 38
al l
dll
⋅× −+−
== ==
++
×

9
二（本题共 15 分）、设函数 在
)(xf )(
+
∞
−
∞,上具有二阶导数，并且
() 0,fx
′′ >lim ( ) 0
xfx
α
→+∞ ′=>
，lim
x( )fx 0
β
→−∞
′
=
<，且存在一点 ，使得 .
0
x0)( 0<xf
证明：方程 0)(
=
xf 在 恰有两个实根.
)( +∞−∞,
证1.由lim ( ) 0
xfx
α
→−∞ ′=>
必有一个充分大的 ，使得
0
xa >() 0fa
′
>.
() 0fx
′′ >知 是凹函数，从而
()yfx=() () ()( ) ( )
f
xfafaxa xa
′
>+ − >
当
x
→+∞时， () ()( )ffaxa
′
+∞ + − → +∞ .
故存在 ，使得
ab >
 ………………（6分）
() () ()( ) 0fb fa f a b a
′
>+ −>
2
摘要：

第二届中国大学生数学竞赛预赛试卷 参考答案及评分标准 （非数学类，2010）  一（本题共5小题，每小题5分，共25分）、计算下列各题（要求写出重要步骤）. (1) 设2(1)(1)(1)nn2xaaa=+⋅++"，其中1lim0sxnxex−→+∞=，所以， 100011nsxnsxsxnnnnIxdexeedxIss+∞+∞+∞−−−s−⎡⎤=−=−−=⎢⎥⎣⎦∫∫ 由此得到，12011!nnnnnnnnnnIIIIsssss−−!+−==⋅==="  (4) 设函数f(t)有二阶连续的导数，22rxy=+，1(,)()gxyfr=，求2222.ggxy∂∂+∂∂ 解  因为,rxryxr...

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