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清华大学大学数学竞赛培训教材

1，2，3，5章及其经典习题

第一部分例题精讲与习题

第一章极限与连续性

1.1 基本概念与内容提要

1）.极限存在的条件：左极限等于右极限。

相关联的题型：（1）函数连续性和可导性的判断及应用；（2）求函数的间断点：①

第一类间断点（左右极限存在）：a>可去间断点：左右极限存在且相等但函数在该点无

定义或函数值不等于极限值。b>跳跃间断点：左右极限存在但不相等。②第二类间断点：

除第一类间断点以外所有的间断点；（3）用定义求导数，若

 

lim

f x f x





存在，

则函数在

处可导且

 

'00

lim

f x f x

fx xx







。所以，判断可导性就是判断极限

 

lim

f x f x





是否存在；(4)求函数的渐近线：①水平渐近线：

 

lim

xf x A

 

，则

y=A 是f(x)的水平渐近线；②铅直（垂直）渐近线：

 

lim

xxfx



，则

xx

是

 

y f x

的铅直（垂直）渐近线；③斜渐近线：

y kx b

其中

   

lim , lim

k b f x kx

 

    



；

④斜渐近线最多有两条，水平渐近线最多有两条，水平渐近线与斜渐近线的总条数最多

有两条。

2）.连续函数的极限

3）.常用极限：

 

lim 1 0 ,lim 1,lim cot 0,

n n x

a a n arc x

  

   

lim cot ,,limarctan ,limarctan

lim 0,lim ,lim 1,lim ln 0

x x x

xx xx

arc x x x

e e x x x







  

  

   

    

4）.极限的四则运算

5）恒等变形、约去零因子、有理化等常用化简方法

6）.极限存在准则（夹逼定理、单调有界定理）

7）.两个重要极限及其变形：

 

sin

lim 1,lim 1 x

xxe



  

8）.洛比达法则（重点），常与洛比达法则一起交替使用，常考的共有七种不定式极限：

①

型，常用方法：约去零因子；等价无穷小替换；变量代换；洛比达法则；恒等变形

②



型，常用方法：分子分母同时除以最高次幂项；变量替换；洛比达法则

③



型，常用方法：通分；倒代换；有理化

④

0

型，常用方法：变形；变量代换；取倒数化为



型

⑤

型，常用方法：取对数化为

0

型；恒等变形；变量代换

⑥



型，常用方法：取对数化为

0

型；恒等变形消除不定式；利用重要极限

 

lim 1 x

xxe



；等价替换

⑦

1

型，常用方法：取对数化为

0

型；利用重要极限

 

lim 1 x

xxe



9）. 无穷小得比较

设

     

lim 0, lim 0, 0

x x x x

x x x

  



  

，则

   

,xx



即为无穷小量，

（1）若

 

lim 0







，则称当

xx

时

 



是比

 



高阶的无穷

小，记为

   

x o x







，或者说当

xx

时

 



是比

 



低阶的无穷小；

（2）若

 

   

lim 0

xCC







，则称当

xx

时

 



是与

 



同

阶的无穷小。特别的，当 C=1 时，称当

xx

时

 



与

 



是等价无穷小，记为

   

 

x x x x





；

（3）若

 

   

lim 0

xCC







，则称当

xx

时

 



是与

 



的k阶无穷小。

等价无穷小替换求极限（注意：有界函数与无穷小的积是无穷小）：等价无穷小是

指在乘积型极限中，一个无穷小因式可以用与它等价的无穷小因式代替。

常用等价无穷小：当

0x

时，

 

sin ,tan , 1 ,ln 1 ,

x x x x e x x x

 

1 cos , 1 1 , 1 ln , 1 1 ,arcsin ,

axn

x x x ax a x a x x x x

     

arctanxx

。注意：高阶无穷小、k阶无穷小的判断及应用。

补充：无穷大量比较：

①当

n

时，无穷大的阶数由低到高排列为：

     

ln , 0 , 0 , 1 ,

n n n a a n



  

   

；

②当

x

时，无穷大的阶数由低到高排列为：

     

ln , 0 , 0 , 1 ,

x x x a a x



  

   

。

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9）.利用泰勒公式、中值定理求极限，求极限常用迈克劳林公式有：

 

121

1 ...

1! 2! !

sin ...

3! 5! 2 1 !

x x x

e o x

x x o x



     



     



 

cos 1 ...

2! 4! 2 !

x o x





     

 

   

 

3 5 5

tan 3 15

ln 1 ... 1

x x x x o x



   

       

 

11 ...

x x x o x

x     



10） .利用定积分的定义求极限

11）证明数列极限存在的方法：①夹逼定理②单调有界定理③级数敛散法：若级数

 

1nn











收敛，则

lim n



存在④级数收敛的必要条件：若级数







收敛，则

lim 0

 

。

补充：给定数列

 

，则

lim n



存在的充要条件是级数

 

1nn











收敛。

所以，判断数列的敛散性可以转化为判断级数的敛散性。

12）抓大头公式：

...

lim 0,

... ,

anm

a x a x a nm

b x b x b nm









   





   





，数列极限也可用。

13）中值定理求极限：关键是将欲求的极限写成中值定理的形式，在求函数式具有

规律比或其分子分母之项具有中值定理那样的关联或函数式非常复杂难以化简时，

尤其是像求类未定的极限如

 

lim sin 1 sin

xxx

 

，可以考虑使用中值定理。

14）利用级数收敛的必要条件求极限：若

 







收敛，则

   

lim lim 0

f n f x

 



。

求极限可以转化为求定积分、判断级数的敛散性等。

1.2 例题选讲

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摘要：

清华大学大学数学竞赛培训教材1，2，3，5章及其经典习题第一部分例题精讲与习题第一章极限与连续性1.1基本概念与内容提要1）.极限存在的条件：左极限等于右极限。相关联的题型：（1）函数连续性和可导性的判断及应用；（2）求函数的间断点：①第一类间断点（左右极限存在）：a>可去间断点：左右极限存在且相等但函数在该点无定义或函数值不等于极限值。b>跳跃间断点：左右极限存在但不相等。②第二类间断点：除第一类间断点以外所有的间断点；（3）用定义求导数，若存在，则函数在处可导且。所以，判断可导性就是判断极限是否存在；(4)求函数的渐近线：①水平渐近线：，则y=A是f(x)的水平渐近线；②铅直（垂直）渐近线...

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