最终版第十届非数学类试题及答案

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第十届全国大学生数学竞赛（非数学类）预赛试题及答案
一、填空题（本题满分 24 分, 共4小题, 每小题 6分)
（1）设
(0,1),
则
 
lim ( 1)
nnn

 
=＿0＿＿＿＿＿＿.
解 由于
11
1 1 ,
nn
 
 
 
 
则
1
1
1
1
11
1
1)1( nn
n
n
nnn
，
于是
1
1
)1(0 n
nn
，应用两边夹法则，
 
lim ( 1) 0
nnn

  
.
（2）若曲线
()y y x
由
+cos
+sin 1
y
x t t
e ty t

确定，则此曲线在
对应点处的切线方程为
0 ( 1)yx  
解：当
时，
1, 0xy
，对
cosx t t
两边关于
t
求导：
1 sin
dx t
dt 
，
0
1
t
dx
dt
，
对
+sin 1
y
e ty t
两边关于
t
求导：
cos 0
ydy dy
e y t t
dt dt
 
，
0
1
t
dy
dt

， 则
0
1
t
dy
dx

.
所以，切线方程为
0 ( 1)yx  
.
（3）
2
2 3/2
ln( 1 )
(1 )
xx
dx
x

=
22
2
1
ln( 1 ) ln(1 ) C
2
1
xx x x
x 
解1：
2tan
2 3/2
ln( 1 ) ln(tan sec ) ln(tan sec ) sin
(1 ) sec
xt
x x t t
dx dt t t d t
xt
 
 
 
ln(tan sec ) sin sin ln(tan sec ) sint ln(tan sec )t t d t t t t d t t  

2
1
sin ln(tan sec ) sint (sec tan sec )
tan sec
t t t t t t dt
tt
 
sin
sin ln(tan sec ) cos
t
t t t dt
t
22
2
1
sin ln(tan sec ) ln | cos | C= ln( 1 ) ln(1 ) C
2
1
x
t t t t x x x
x
 
.
解2：
22
2 3/2 2
ln( 1 ) ln( 1 )
(1 ) 1
x x x
dx x x d
xx
  

2
2 2 2 2
1
ln( 1 ) 1
1 1 1 1
x x x
x x dx
x x x x x

 

 

2
2
2ln( 1 ) 1
1
xx
x x dx
x
x
22
2
1
= ln( 1 ) ln(1 ) C
2
1
xx x x
x 
（4）
3
2
0
1 cos cos2 cos3
lim
x
x x x
x
=＿＿＿3＿＿＿＿.
解答：
33
2 2 2
00
1 cos cos2 cos3 ) 1 cos cos (1 cos2 cos3 )
lim lim
xx
x x x x x x x
x x x


 



3
2
0
1 1 cos2 cos3
lim
2x
xx
x

3
22
0
1 1 cos2 cos2 (1 cos3 )
lim
2x
x x x
xx


 


3
22
0
1 (cos2 1) 1 1 (cos3 1) 1
1lim
2x
xx
xx

   
 



22
00
1 1 cos2 1 cos3 1 3
lim lim 1 3
2 2 3 2 2
xx
xx
xx


   
.
二 (本题满分 8分) 设函数
()ft
在
0t
时一阶连续可导，且
(1) 0f
，求函数
22
()f x y
，
使得曲线积分
2 2 2 2
(2 ( )) ( )
Ly f x y dx xf x y dy

 

与路径无关，其中
L
为任一不与直
线
yx
相交的分段光滑闭曲线.
解：设
22
( , ) (2 ( ))P x y y f x y 
，
22
( , ) ( )Q x y xf x y
，由题设可知，积分与路
径无关，于是有
( , )Q x y P
xy


，由此可知
2 2 2 2 2 2
( ) ( ) ( ) 1x y f x y f x y
 
-----------5 分
记
22
t x y
，则得微分方程
( ) ( ) 1tf t f t

，即
( ( )) 1tf t
，
( ))tf t t C
又
(1)) 0f
，可得
1,C
1
( )) 1ft t

，从而
22
22
1
( ) 1f x y xy
 
.
------------8 分
三 (本题满分 14 分) 设
()fx
在区间[
0,1
]上连续，且
1 ( ) 3fx
.证明：
11
00
14
1 ( ) ( ) 3
f x dx dx
fx


.
证明. 由柯西不等式
摘要：

第十届全国大学生数学竞赛（非数学类）预赛试题及答案一、填空题（本题满分24分,共4小题,每小题6分)（1）设则=＿0＿＿＿＿＿＿.解由于则，于是，应用两边夹法则，.（2）若曲线由确定，则此曲线在对应点处的切线方程为解：当时，，对两边关于求导：，，对两边关于求导：，，则.所以，切线方程为.（3）=解1：.解2：(0,1),lim(1)nnn1111,nn11111111)1(nnnnnnn11)1(0nnnlim(1)0nnn...

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