最终版第十届非数学类试题及答案

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第十届全国大学生数学竞赛（非数学类）预赛试题及答案

一、填空题（本题满分 24 分, 共4小题, 每小题 6分)

（1）设

(0,1),





则

 

lim ( 1)

nnn



 

=＿0＿＿＿＿＿＿.

解由于

1 1 ,



   

  

   

   

则























































 1

1)1( nn

nnn

，

于是







 1

)1(0 n

，应用两边夹法则，

 

lim ( 1) 0

nnn



   

（2）若曲线

()y y x

由

+cos

+sin 1

x t t

e ty t









确定，则此曲线在

0t

对应点处的切线方程为

0 ( 1)yx   

解：当

0t

时，

1, 0xy

，对

cosx t t

两边关于

求导：

1 sin

dx t

dt 

，

dt 



，

对

+sin 1

e ty t

两边关于

求导：

cos 0

ydy dy

e y t t

dt dt

   

，

dt 



，则

dx 



所以，切线方程为

0 ( 1)yx   

（3）

2 3/2

ln( 1 )

(1 )







ln( 1 ) ln(1 ) C

xx x x

x    



解1：

2tan

2 3/2

ln( 1 ) ln(tan sec ) ln(tan sec ) sin

(1 ) sec

x x t t

dx dt t t d t



  

  



  

ln(tan sec ) sin sin ln(tan sec ) sint ln(tan sec )t t d t t t t d t t     



sin ln(tan sec ) sint (sec tan sec )

tan sec

t t t t t t dt

   





sin

sin ln(tan sec ) cos

t t t dt

   

sin ln(tan sec ) ln | cos | C= ln( 1 ) ln(1 ) C

t t t t x x x

        



解2：

2 3/2 2

ln( 1 ) ln( 1 )

(1 ) 1

x x x

dx x x d

   





2 2 2 2

ln( 1 ) 1

1 1 1 1

x x x

x x dx

x x x x x



    



    





2ln( 1 ) 1

x x dx

    



= ln( 1 ) ln(1 ) C

xx x x

x    



（4）

1 cos cos2 cos3

lim

x x x





=＿＿＿3＿＿＿＿.

解答：

2 2 2

1 cos cos2 cos3 ) 1 cos cos (1 cos2 cos3 )

lim lim

x x x x x x x

x x x





  







1 1 cos2 cos3

lim







1 1 cos2 cos2 (1 cos3 )

lim

x x x







  





1 (cos2 1) 1 1 (cos3 1) 1

1lim





     

  





1 1 cos2 1 cos3 1 3

lim lim 1 3

2 2 3 2 2





      

二 (本题满分 8分) 设函数

()ft

在

0t

时一阶连续可导，且

(1) 0f

，求函数

()f x y

，

使得曲线积分

2 2 2 2

(2 ( )) ( )

Ly f x y dx xf x y dy



   





与路径无关，其中

为任一不与直

线

yx

相交的分段光滑闭曲线.

解：设

( , ) (2 ( ))P x y y f x y  

，

( , ) ( )Q x y xf x y

，由题设可知，积分与路

径无关，于是有

( , )Q x y P







，由此可知

2 2 2 2 2 2

( ) ( ) ( ) 1x y f x y f x y



    

-----------5 分

记

t x y

，则得微分方程

( ) ( ) 1tf t f t



，即

( ( )) 1tf t 

，

( ))tf t t C

又

(1)) 0f

，可得

1,C

( )) 1ft t



，从而

( ) 1f x y xy

   

------------8 分

三 (本题满分 14 分) 设

()fx

在区间[

0,1

]上连续，且

1 ( ) 3fx

.证明：

1 ( ) ( ) 3

f x dx dx





证明. 由柯西不等式

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摘要：

第十届全国大学生数学竞赛（非数学类）预赛试题及答案一、填空题（本题满分24分,共4小题,每小题6分)（1）设则=＿0＿＿＿＿＿＿.解由于则，于是，应用两边夹法则，.（2）若曲线由确定，则此曲线在对应点处的切线方程为解：当时，，对两边关于求导：，，对两边关于求导：，，则.所以，切线方程为.（3）=解1：.解2：(0,1),lim(1)nnn1111,nn11111111)1(nnnnnnn11)1(0nnnlim(1)0nnn...

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