矩阵理论赵迪知识总结-求导公式与应用

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1
本节主要内容：矩阵函数求导公式
设
mn
矩阵
nmij xaxA
=))(()(
的元素都是
x
的可导函数，
定义
()Ax
关于
x
的求导为：
( ) ( ) ( ( ))
ij m n
dd
A x A x a x
dx dx
==
同样，若
nmij xaxA
=))(()(
元素都在区间
连续，它在区间
的积分记为
( ) ( ( ) )
bb
ij m n
aa
A x dx a x dx
=

例如,
2
cos 2 0
( ) 1/ 0
01
x
xx
A x e x
x


=


关于
x
的求导为
'2
sin 2 0
( ) ( ) 1/ 0
0 0 2
x
x
d
A x A x e x
dx x
−


= = −



；
且
()Ax
在区间
[ , ],(0 )a b a b
的积分为
33
2
cos 2 0
( ) ( ( ) ) 1/ 0
01
bb
aa
b b b b
x
ij
a a a a
bb
aa
xdx xdx
A x dx a x dx e dx xdx
dx x dx



==





 

22
33
sin sin ( ) 0
ln ln 0
0 ( ) / 3
ba
b a b a
e e b a
b a b a

−−

= − −


−−

.
备注(引理)：
( ) ( ) 0( 0)
d
A x A x
dx
=恒为
⇔
( )= ( )A x D 常数矩阵
定理 设
( ) ( ( ))
ij n n
A x a x
=
，
( ) ( ( ))
ij n n
B x b x
=
在区间
],[ ba
可导，则有
1).
2
( ( ) ( )) ( ) ( ) '( ) '( )
d d d
A x B x A x B x A x B x
dx dx dx
+ = + = +
.
2).
)()()()())()(( xB
dx
d
xAxBxA
dx
d
xBxA
dx
d+=
即
( ( ) ( )) ( ) ( ) ( ) ( )
dA x B x A x B x A x B x
dx 
=  +
特别若函数
()fx
可导, 则有
( ( ) ( )) ( ) ( ) ( ) ( )
df x A x f x A x f x A x
dx 
=+
.
3). 若
()x g t=
关于参数
t
可导，则
( ( )) '( ) ( ( ))
dd
A x g t A g t
dt dx
=
.
4).
dxxBdxxAdxxBxA b
a
b
a
b
a+=+ )()())()((
,
且
dxxAdxxA b
a
b
a=)()(
.
5).
DdxxADdxxA b
a
b
a= )()(
, 且
dxxADdxxDA b
a
b
a= )()(
.
其中
D
为常数矩阵
6). 若
)(xA
在
],[ ba
连续, 则
( ( ) ) ( )
x
a
dA t dt A x
dx =
，
( , )x a b
7).若
'( )Ax
在
],[ ba
连续，则有
(N--( ) ( ) L)( )
b
aA x dx A b A a
=−
公式
8).若
)(
1xA−
可导, 则
1 1 1
( ( )) ( )( ( )) ( )
dd
A x A x A x A x
dx dx
− − −
=−
3
Pf 证. 1)--- 7) (显然成立) 略，只证 8).
8).
1
( ) ( )A x A x I
−
=
, 利用公式 2)可知
11
( ) ( ) ( ) ( ( )) 0
d
A x A x A x A x
dx
−−
+  =
.
即有
1 1 1
( ( )) ( )( ( )) ( )
dd
A x A x A x A x
dx dx
− − −
= −
.
………………………………………………………………………………………
备注：对于含参数 t 的矩阵
A(t) B(t)，
有如下记号与法则.
(t) t A(t)=( (t))
(t) A(t) [a,b]
.
ij ij m n
ij
aa
a
定义：元素 以 为变元的矩阵 称为函数矩阵，
若每个 在[a,b]上是连续，可导，可积时，则称 在 上
连续，可导，可积 定义
.
aa
A'(t)= A(t) ( ' (t)) A(t) (t) ) .
bb
ij m n ij m n
da dt a dt
dt 

=； =(
1. A(t) B(t)命题 设 ， 为适当阶的可导矩阵，则
1) (A(t) B( )) A(t) B(t);
t t t
d d d
t
d d d
+ = +
A( )
2) (A(t)B(t)) B(t) A( ) B(t);
t t t
d d t d
t
d d d

=+


特别，
()
( ) ( ( )A(t)) A(t) ( ) A(t)
t t t
d d t d
t t t
d d d
 
=+为可导函数，则
3)u ( ) (A(u)) '( ) A(u);
t
dd
f t f t
d du
==可导时，
b
a
4) A'( ) A(b) A(a) (N-L ).t dt =−
公式
………………………………………………………………………………
常见 3个矩阵函数(含有参数 t)：
( t) cos( ),sin( )
tA
f A e tA tA=，
AC
nn
定理 设方阵 ，则
At At At
1) e Ae =e A
t
d
d=；
摘要：

1本节主要内容：矩阵函数求导公式设矩阵的元素都是的可导函数，定义关于的求导为：同样，若元素都在区间连续，它在区间的积分记为例如,关于的求导为；且在区间的积分为.备注(引理)：⇔定理设，在区间可导，则有1).mnnmijxaxA=))(()(x()Axx()()(())ijmnddAxAxaxdxdx==nmijxaxA=))(()([,]ab[,]ab()(())bbijmnaaAxdxaxdx=2cos20()1/001xxxAxexx=x'2sin20()()1/0002xxdAxAxexdxx−==−()Ax[,],(0)abab...

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