19年矩阵A复习资料及考题矩阵笔记final

北京航空航天大学

矩阵理论 A笔记

任课教师：赵迪

编辑：张京蕊

北京航空航天大学张京蕊工程系统工程系

写在前边

编者按：矩阵理论 A课程是我校一门研究生公共课程，本人特将 2008 年秋季本

课程赵迪老师大班的笔记整理成电子版，以供后人学习、参考之用。本笔记包括七大

部分，编号从零至六。

众所周知，赵老师上课从不用课件，完全是板书，所以选这门课程的同学每堂课

必然要仔仔细细的记笔记，虽然我把赵老师这门课程的笔记整理成了电子版，但仍不

鼓励大家拿着打印稿，不记笔记，甚至不去上课。俗话说：“好记性不如烂笔头。”勤

奋一些，平时认认真真把笔记记清，可以巩固对这门课程知识的记忆，为以后考试和

应用打好基础，事半功倍。

同时严正声明：禁止将此笔记用于任何商业用途。虽然这个电子版是我搞出来的，

但我仍认为这套笔记的版权应该归赵老师或者北航理学院所有，希望同学不要因贪小

利而忘大义。

最后，希望这份电子版的笔记能够给同学们学习这门课程带来方便，祝同学们在

北航生活、学习、工作愉快！

矩阵理论 A笔记

北京航空航天大学张京蕊工程系统工程系

§0 补充公式...................................1

§1 Jordan（约当）标准形（简介）..............11

§2 线性变换与矩阵............................24

§3 欧式空间与

R

分解..........................48

Q

A

§4 常用矩阵分解..............................74

§5 范数与级数................................81

§6 广义逆

+

..................................97

§7 直积拉直及应用...........................105

矩阵理论 A笔记

北京航空航天大学张京蕊工程系统工程系

§0 补充公式

令A = (aij)n×n∈Cn×n，f(x) = a0 + a1x + … + amxm

定义 f(A) = a0I + a1A + … + amAm，其中

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

==

10

01

"

#%#

"

n

II

若g(x) = b0 + b1x + … + bkxk，f(x)•g(x)=g(x)•f(x)，则 f(A)•g(A)=g(A)•f(A)

分块公式

令，A1，A2为方阵

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

=

2

1

0

A

则：（1）

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

=k

k

A

2

1

0

（2）

()

(

)()

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

=

2

1

0

Af

Af ，f(x)为多项式

令，A1,…,As为方阵

()

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

=

s

AO

A

A%

2

1*

则：（1）

(

)

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

=

k

s

k

AO

A

A%

2

1*

（2）

()

(

)

()

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

=

s

AfO

Af

Af %

2

1*

相似关系：A∽B，（P-1AP = B）

则：（1）(P-1AP)k = P-1AkP，（k=0,1,2,…）

（2）f(P-1AP) = P-1f(A)P，f(x)为多项式

许尔公式（schur）：每个复方阵，A = (aij)n×n都相似于上三角形。

共113 页矩阵理论 A笔记第1页

北京航空航天大学张京蕊工程系统工程系

即：，其中 λ1,…,λn的次序可以任意指定

()

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛∗

=

−

n

O

APP

λ

%

2

1

Pf：用归纳法

n = 1 时成立

可以设为(n = 1)阶方阵成立

对于 n阶方阵 A = (aij)n×n设特征值为 λ1,…,λn

取λ1对应的特征向量，记为 α1 ≠ 0，Aα1 =λ1α1

把α1扩展为可逆方阵 Q = (α1,α2,…,αn)

∴QTQ = In = (e1,e2,…,en)

又∵Q -1(α1,α2,…,αn) = (Q -1α1, Q -1α2,…, Q -1αn)

其中，，…，

11

1

0

1

eQ =

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

=

−

#

α

22

1

0

1

0

eQ =

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

=

−

#

α

nn eQ =

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

=

−

1

0

1

#

α

∴

(

)

()

() ()

()

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛∗

=

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

=

∗∗=

∗∗∗=

=

−

−−

1

21

1

21

11

A0

0

,,,

,,,,

,,,

λ

αλ

λα

ααα

为

记

#

"

#

"

Q

AAAQ

AQAQQ

n

，其中 A1为(n-1)阶

∴由假设，对于 A1必有(n-1)阶P1，可推出

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛∗

=

−

n

2

1

O

λ

%APP

∴得证。

Eg.知n阶方阵 A，适合 Ak = 0，则| A + I | = 1

共113 页矩阵理论 A笔记第2页

北京航空航天大学张京蕊工程系统工程系

Pf：任意特征值

⇒= 0

k

A00

k=⇒=

λλ

即全体特征值为 0,0,…,0

由需要 1

0O

0

11 =+⇒

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛∗

=−− IAPPAPP %

∵

()

1

111 =+⇒+=+=+ −−− IAIAPIAPIPPAPP

注：（1）若 A ∽ B（相似），则 A、B有相同特征值 λ1,…,λn

可引入记号：谱集

() { }

n

A

λ

σ

,,, 21 "=（全体特征值，含重复）

∴A ∽

() ()

BAB

σ

=

⇒

（2）A ∽

(

)

(

)

(

)

n

BIAIB

λλλλλλλλ

−−−=−=−⇒ "

21 ，特征多项式

∵

(

)

BIPAIPAIBAPP −=−=−⇒= −−

λλλ

11

引理：若，则| λI – A | = | λI1 – A | = |λI1 – A1 ||λI2 – A2 |

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

=

2

1

0

A

() ( ) ( )

21 AAA

σ

∪=⇒

即{λ1, λ2,…,λn} = {λ1, λ2,…,λk}∪{λk+1, λk+2,…,λn}

设，f(x)为多项式，则

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛∗

=

n

O

B

λ

%

2

1

()

(

)(

()

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛∗

=

n

fO

f

Bf

λ

%

1

)

引理：若n阶方阵 A的谱集 σ(A) = {λ1, λ2,…,λn}，

则f(A)的全体特征值为{f(λ1),f(λ2),…,f(λn)}，f(x)为多项式

Pf：由许尔定理，A ∽ ∽

()

Af

O

B

n

⇒

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛∗

=

λ

%

1

()

(

)

()

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛∗

=

n

fO

f

Bf

λ

%

1

()

xf⇒的全体特征值为{f(λ1),f(λ2),…,f(λn)}，f(x)为多项式

例如：λ为A的特征值为 Ak的特征值。（f(x) = xk）

k

λ

⇒

共113 页矩阵理论 A笔记第3页

北京航空航天大学张京蕊工程系统工程系

引理：令，f(x) = | xI – B | = (x-λ1) (x-λ2) …(x-λn)

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛∗

=

n

O

B

λ

%

1

则f(B) = (B - λ1I) ( B – λ2I) …(B – λnI) = 0

Pf：当 n = 2 时，，f(x) = (x-λ1) (x-λ2)

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛∗

=

2

1

0

λ

B

() ( )( ) ()

(

)

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

=

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛∗−

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

−

∗

=−−=⇒ 00

00

0

021

12

21

λλ

IBIBBf

∴得证

Cayley★公式：设n阶方阵

A

的特征多项式为 f(x) = | xI – A | = a0 + a1x + … + xn

则f(A) = a0I + a1A + … + An = 0

Pf：由许尔

(

)

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛∗

==

−

n

O

BAPP

λ

%

2

1

()

(

)

()

0

11 ===⇒ −− BfAPPfPAfP （引理）

定义：若多项式 f(x)使f(A) = 0，则称 f(x)为A的一个零化式

结论：方阵 A的特征多项式 f(x) = | xI – A |为A的一个零化式

Eg：，特征多项式 f(x) = x2 + 1

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛−

=01

10

A

可知：

()

0

10

01

2=+

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

−

=+= IIAAf

且f(x) = | xI – A | = (x - i)(x + i)，（ 1,1 2−=−= ii ）

f(A) = (A - iI)(A + iI) = 0

也可取，则

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛−

=i

i

P1

1⎟

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

−

−−

=

−

i

P1

1

2

1

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

−

=

−

10

0

1i

APP ，对角形

共113 页矩阵理论 A笔记第4页

北京航空航天大学张京蕊工程系统工程系

Eg：知

(

)

nn

O

A

×

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛∗

=

0

%，则 An = 0

由Cayley 特征多项式：

()

(

)

0==⇒= nn AAfxxf

Ex.1. ，求 P使得 P-1AP 为对角阵，并验证 Cayley 定理。

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛−

=11

11

A

2. ，求 f(x) = | xI – A |验证 f(A) = 0

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

=dc

ba

A

补充知识（schur 公式、Cayley 公式）应用

由An = -(a0I + a1A + … + an-1An-1) ①

(

)

n

nn AaAaAaAAA 1

2

10

1

−

++++−=•=⇒ " ②

把①代入②

() ()

(

)

11 −+ ∗++∗+∗=⇒ nn AAIA "

可知：任何 Am (m ≥ n)都可写成 I,A, …,An-1 的线性组合。

任何多项式 g(A)，可写成 I,A, …,An-1 的组合。

Eg：若| A | ≠ 0，f(x) = | xI – A | = a0 + a1x + … + xn，a0 = | -A | ≠ 0

则A-1 可用 A的多项式表示

∵a1A + a2A2 + … + an-1An-1 + An = -a0I

A(a1I + a2A + … + an-1An-2 + An-1) = -a0I

()

12

11

0

11−−

−

−+++−=⇒ nn

nAAaIa

a

A"

零化式定义：若g(x) = b0 + b1x + … + bmxm，使得 g(A) = b0I + b1A + … + bmAm = 0，称

g(x)为方阵 A的零化式

注：方阵 A的零化式有无穷多个

∵取特征多项式 f(x)则f(A) = 0

任取式 h(x)，

(

)( )

(

)

(

)

xhxfAhAf ⇒= 0也是零化式

极小式定义：在方阵 A的零化式集合中，去次数最小的且首项系数为 1的零化式 mA(x)，

称它为 A的极小式

共113 页矩阵理论 A笔记第5页

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注：极小式唯一

性质：①极小式 m(x)必为特征多项式 f(x) = | xI – A |的因式。

②特征多项式 f(x) = | xI – A |的每个单因子(x - λ)也是极小式的因子。

③若

() ()

(

)

(

)

s

n

s

nn xxxAxIxf

λλλ

−−−=−= "

21

21 ，

则极小式

() ( )( )

(

)

s

l

s

ll xxxxm

λλλ

−−−= "

21

21 ，

且1 ≤ l1 ≤ n1,1 ≤ l2 ≤ n2, …,1 ≤ ls ≤ ns，λ1, λ2,…,λn互不相同。

Eg. ，，求极小式 mA(x)，mB(x)

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

=

100

020

012

A⎟

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

=

100

020

002

B

解：（1）| xI – A | = (x - 2)2(x - 1)

极小式为：(x - 2)2(x - 1)或(x - 2)(x - 1)

计算：

()()

0

000

010

011

100

000

010

2≠

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

−

=−− IAIA

∴极小式为 mA(x) = (x - 2)2(x - 1)

（2）| xI – B | = (x - 2)2(x - 1)

计算：

()()

0

000

010

001

100

000

2=

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

−

=−− IBIB

∴极小式为 mB(x) = (x - 2)(x - 1)

Eg.求下列极小式 m(x)

（1），（2），

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

−−

−−=

163

053

064

A⎟

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

−

=

232

032

064

B

（3），（4）

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

=

1000

0100

0010

0012

C⎟

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

−=

200

001

012

D

解：（1）特征多项式| xI – A | = (x - 1)2(x + 2)

极小式为：(x - 1)2(x + 2)或(x - 1)(x + 2)

共113 页矩阵理论 A笔记第6页

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验证：(A - I)(A + 2I) = 0

∴极小式为 m(x) = (x - 1)(x + 2)

（3）解法如下

引理：A1，A2的极小式为 m1(x)，m2(x)

则的极小式 m(x)等于 m1(x)，m2(x)的最小公倍式

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

2

1

0

A

（此引力可推广到 A1,A2,…,As）

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

=

1000

0100

0010

0021

C，极小式为(x - 1)2，极小式为(x - 1)

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

=10

21

1

A⎟

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

=10

01

2

A

取最小公倍式(x - 1)2为C的极小式。

（5），，

66

2

1

0

×

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

=A

A

F⎟

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

=

210

020

012

1

A⎟

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

−−

−−=

163

053

064

2

A

引理：设，则 D的极小式 m(x) = xn

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

=

0

1

0

10

O

D%

%

验证：先证 D的性质（右推公式）

设A = (aij)n×n = (α1,α2,…,αn)

则有 AD = (0,α1,α2,…, αn-1)

AD2 = (0,0,α1,…, αn-2)

ADk = (0, …,0,α1,…, αn-k)

单位向量技巧：∵AI = A(e1,e2,…,en) = (Ae1, Ae2,…, Aen) = A =(α1,α2,…,αn)

∴Ae1 =α1, Ae2 =α2, … , Aen =αn

()(

121121 ,,,,0,,,,0 −− ==⇒ nn

eeeAAD

)

α

""

同理 AD2 = (AD)D = (0,0,α1,…, αn-2)

可知：Dn-1 = (D)Dn-2 = (0,0, …,e1) ≠ 0

Dn = (D)Dn-1 = 0，而特征多项式 f(x) = | xI – D | = xn，极小式为某个 xk

共113 页矩阵理论 A笔记第7页

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