矩阵理论与应用I-第三章4-对角化分解

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矩阵理论与应用I

第三章矩阵分解

满秩分解

QR分解

Schur分解

对角化分解

谱分解

Jordan分解

第三章矩阵分解

3.4 对角化分解

第三章矩阵分解——对角化分解

定义3.4.1 单纯矩阵若阶复方阵相似于对角阵,

即存在阶可逆矩阵使得

  

则矩阵称为可对角化矩阵或单纯矩 

阵.

注1:单纯阵的定义式就是单纯阵的对角化分解式,

它实际上是Schur分解的一种特殊形式.

第三章矩阵分解——对角化分解

定理3.4.1 设矩阵  的全部互异特征根为

    

,则以下命题等价:

（1）是单纯矩阵;

（2）有个线性无关的特征向量;

（3）特征值     

的代数重数等于其几何

重数;

（4）

  ;

（5）最小多项式无重根.

第三章矩阵分解——对角化分解

例3.4.1 设线性变换   在基  下的

矩阵为,即      ,其中

 

  



  

问:线性变换可否对角化.

若可对角化，试求满秩矩阵，使为对角阵

分析:线性变换可否对角化就等价于矩阵是否为

单纯矩阵.

第三章矩阵分解——对角化分解

首先计算矩阵的特征多项式



    

方法一:又知     ,故的最小多项式为

      .

由于无重根,故是单纯矩阵,即线性变换可

作对角化.

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摘要：

矩阵理论与应用I第三章矩阵分解满秩分解QR分解Schur分解对角化分解谱分解Jordan分解第三章矩阵分解3.4对角化分解第三章矩阵分解——对角化分解定义3.4.1单纯矩阵若�阶复方阵�相似于对角阵Λ,即存在�阶可逆矩阵�使得�−1��=Λ则矩阵�称为可对角化矩阵ሺ或单纯矩ሻ阵.注1:单纯阵的定义式就是单纯阵的对角化分解式,它实际上是Schur分解的一种特殊形式.第三章矩阵分解——对角化分解定...

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