矩阵理论赵迪知识总结-3_补充特征向量观察法

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特向观察法

补充定理：若

( ) 0A I P



−=

，则

中列都是



的特向

证明:

( ) 0A I P



−=

⇔

AP P



,令

( , , )

P X X=

---按列分块

则

1 1 1

( , , ) ( , , )

A X X X X



⇒

1 1 1 1

,, nn

AX X AX X



证毕

方法 1: 若

( )( ) 0A I A I



− − =

，则

()AI



−

的列都是



的特向，

()AI



−

的列都是



的特向

证明：因为

2 1 1 2

0=( )( ) ( )( )A I A I A I A I

   

− − = − −

（可交换！）

由补充定理可知，

()AI



−

的列都是



的特向，且

()AI



−

的列都是



的特向

例1：













−

402

000

201

(正规阵单阵！)，全体根

 

( ) 5,0,0A



，不同根为

0,5 21 ==



由于 A为单阵！必有

( )( ) 0A I A I



− − =

，即

( 5)( 0) 0AA− − =

可知，

1 0 2 1

0 A 0 0 0 0 0

2 0 4 -2

−

   

   

− = =    

   

−

   

中取一非列

为



的特向

-4 0 2 4 0 2 0 2

-5 0 -5 0 = 0 5 0 2 1 0 0

2 0 -1 2 0 1 0 1



−

       

       

= − =

       

−

       

中取列，都是

的特向！

例2.

A

=



,可知

(A) {1, 4}



,由Cayley 公式得

( 1)( 4) 0AA− − =

且

1 1 2 1

4 , 1 ,

2 2 2 1

−

   

− = = − = =

   

−

   

可知

有2个特向

   

   

−

   

（分别属于

1, 4



）不唯一

例3

−



=



，

(A) { , } ii



=−

，由 Cayley 公式得

( )( ) 0A i A i− + =

且

− − −

   

+ = − =

   

−

   

，可知

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摘要：

特向观察法补充定理：若，则中列都是的特向证明:⇔,令---按列分块则⇒证毕方法1:若，则的列都是的特向，的列都是的特向证明：因为（可交换！）由补充定理可知，的列都是的特向，且的列都是的特向例1：(正规阵单阵！)，全体根，不同根为由于A为单阵！必有，即可知，为的特向的特向！例2.,可知,由Cayley公式得且可知有2个特向（分别属于）不唯一例3，，由Cayley公式得且，可知1()0AIP−=P11()0AIP−=1APP=1(,,)nPXX=111(,,)(,,)nnAXXXX=1111,,nnAXXAXX==12()()0AIAI−−=2()AI−11()AI−22...

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