矩阵理论赵迪知识总结-f(A)幂0,分块

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2025-01-13 0 0 334.04KB 11 页 5.9玖币
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1
3个矩阵函数(续)--- 利用幂0条件与Taylor 公式求
()fA
3个矩阵函数
cos( ),sin( )
tA
e tA tA，
定义如下：
2 2 3 3
2 3! !
kk
tA t A t A t A
e I tA k
= + + + + +＋
3 3 5 5 7 7
sin( ) 3! 5! 7!
t A t A t A
tA tA= − + − +
2 2 4 4 6 6
cos( ) 2! 4! 6!
t A t A t A
tA I= − + − +
幂0阵定义： 若
0 ( 2)
k
Ak=
，
称为幂0阵
……………………………………………………………………………….
幂0公式 1：若
0 ( 2)
k
Ak=
，
()fx
为任一解析式, 则有
1
21
(0) (0)
( ) (0) '(0) 2! ( 1)!
kk
ff
f A f I f A A A
k
−−

= + + + + −
证明：利用 Taylor 级数，可写
()fx
为
2
(0) (0)
( ) (0) '(0) 2! !
kk
ff
f x f f x x x
k

= + + + + +
代入
, 0
k
x A A==利用
可知
2
1
21
(0) (0)
( ) (0) '(0) 2! !
(0) (0)
(0) '(0) 2! ( 1)!
kk
kk
ff
f A f I f A A A
k
ff
f I f A A A
k
−−

= + + + + +

= + + + + −
故
1
21
(0) (0)
( ) (0) '(0) 2! ( 1)!
kk
ff
f A f I f A A A
k
−−

= + + + + −
证毕
备注(幂0公式 2). 若
( ) 0 ( 2)
k
A aI k− = 
，
()fx
为任一解析函数, 则有公式
1
21
( ) ( )
( ) ( ) '( )( ) ( ) ( )
2! ( 1)!
kk
f a f a
f A f a I f a A a A a A a
k
−−

= + − + − + + −
−
证：利用 Taylor 级数，可写
()fx
为
2
2
( ) ( )
( ) ( ) '( )( ) ( ) ( )
2! !
kk
f a f a
f x f a f a x a x a x a
k

= + − + − + + − +
代入
, ( ) 0
k
x A A aI= − =利用
可知
2
1
21
( ) ( )
( ) ( ) '( )( ) ( ) ( )
2! !
( ) ( )
( ) '( )( ) ( ) ( )
2! ( 1)!
kk
kk
f a f a
f A f a I f a A a A a A a
k
f a f a
f a I f a A a A a A a
k
−−

= + − + − + + − +

= + − + − + + −
−
故
1
21
( ) ( )
( ) ( ) '( )( ) ( ) ( )
2! ( 1)!
kk
f a f a
f A f a I f a A a A a A a
k
−−

= + − + − + + −
−
证毕
例：
11
(1) ,
11
A−

=
−

求
tA
e
，
cos( )tA
解：
11
(1) ,
11
A−

=
−

 
( ) 0,0A
=
,
2
xI A x−=
由Cayley 公式可知
20A=
或直接验证
21 1 1 1 0
1 1 1 1
A−−
  
==
  
−−
  
，由幂 0公式
( 2)k=
可得公式
( ) (0) '(0)f A f I f A=+
，
()fx
为任一解析函数
令
( ) , '( ) , (0) 1, '(0)
tx tx
f x e f x te f f t= = = =
可得
1,
1
tA tt
e I tA tt
+−

= + = 
−

令
( ) cos( ), '( ) sin( ), (0) 1, '(0) 0f x tx f x t tx f f= = − = =
10
cos( ) 0 ,
01
tA I A I 
= + = = 

例：
=
200
120
012
A
求
tA
e
,
sin( )tA
解：可知，根谱
 
( ) 2,2,2A
=
验：
0
000
000
100
000
100
010
000
100
010
)2)(2()2( 2
=
−−=− ＝AAA
(不是单阵)
3
由于特式
3
)2( −=− xAxI
，根据 Cayley 公式 ⇒
3
( 2) 0A−=
由幂0公式 2，可写公式如下
2
''(2)( 2)
( ) (2) '(2)( 2) 2
fA
f A f I f A −
= + − +
，
()fx
为解析函数
令
2 2 2 2 2 2 2
( ) , '( ) , ''( ) , (2) , '(2) , ''(2)
tx t t t t t
f x e f x te f x t e f e f te f t e=  = = = = =
2
2
2 2 2 2 2 2
2
2
0 1 0 0 0 1
1
( 2) ( 2) 0 0 1 0 0 0
22
000 000
1
0 1
0 0 1
tA t t t t
t
t
t
e e I te A t e A e I t
t
et

   

   
= + − + − = + +

   
   

   



=


再令
( ) sin( ),f x tx=
可知
22
'( ) cos( ), ''( ) sin( ), (2) sin(2 ), '(2) cos(2 ), ''(2) sin(2 )f x t tx f x t tx f t f t t f t t= = − = = = −
代入公式：
2
''(2)( 2)
( ) (2) '(2)( 2) 2
fA
f A f I f A −
= + − +
2
22
2
2
1
sin( ) sin(2 ) cos(2 )( 2) sin(2 )( 2)
2
0 1 0 0 0 1
sin(2 ) cos(2 ) 0 0 1 sin(2 ) 0 0 0
2
000 000
sin(2 ) cos(2 ) sin(2 )
0 sin(2 ) cos(2 )
0 0 sin(2 )
t
tA t I t t A t t A
t
t I t t t
t t t t
t t t
t
−
= + − − −
   
   
= + −
   
   
   


=


………………………………………………………………………………………………………
例：
=
311
111
002
－
A
求
tA
e
，
sin( )tA
解：
3
)2( −=− xAxI
，根
 
( ) 2,2,2A
=
验：
2
000000
( 2) ( 2)( 2) 1 1 1 1 1 1 0
1 1 1 1 1 1
A A A
  
  
− = − − = =
  
  
  
－ －
－ －
A（
不是单阵）
由
2
( 2) 0A−=
可得公式：
)2)(2(')2()( −+= AfIfAf
，
()fx
为解析函数
摘要：

13个矩阵函数(续)---利用幂0条件与Taylor公式求3个矩阵函数定义如下：幂0阵定义：若，称为幂0阵……………………………………………………………………………….幂0公式1：若，为任一解析式,则有证明：利用Taylor级数，可写为代入可知故证毕备注(幂0公式2).若，为任一解析函数,则有公式证：利用Taylor级数，可写为()fAcos(),sin()tAetAtA，223323!!kktAtAtAtAeItAk=+++++＋335577sin()3!5!7!tAtAtAtAtA=−+−+224466cos()2!4!6!tAtAtAtAI=−+−+0(2)kAk=A0(2)kAk=...

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