矩阵理论赵迪知识总结-H定理-奇异值

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复习：2个许尔公式（Schur）

许尔公式(1)：方阵

nn

存在可逆阵

使













−









1DAPP

为上三角阵；

许尔公式(2): 方阵

nn

存在酉阵

，使













−









1DAQQ

为上三角阵.

证明略.

例1：













=22

，令











−

=11

，有













−

，













−













−











−













−











−

























−

1APP

；

令













=21

，有













−

，













−

























−





































−

1APP

。

例2：













−

=i21

1i2

，令













=i1

，有













−

，

















































−

−−

























−













−

2i2

2i22i2

i21

1i2

1AQQ

许尔推论：每个方阵都酉相似于上三角阵.

Hermit 分解：若

是Hermite 阵(

AA =

)，则存在优阵

，

使



−







Q AQ

为对角阵

且，特征根

,,,





都为实数

注：

中列都是

()

=AA

的特征向量

证：据许尔公式













−









1AQQ

为上三角阵，

为优阵：

−=

共轭转置后：

( )













−









1AQQ

为下三角阵, 且可写左边如下：

( ) ( )

AQQQAQAQQAQQ11 −− === HH

，即

(*) 0







=





∴所有的元素 (

)都为零，且



，即每个



为实数（

,n,,,i 321=

）.

由Hermit 分解可得如下结论：

（

AAH

）定理：任

nm

，则

AAH

与

都为 Hermite 阵.

且对于

AAH

，存在酉阵

（

QQ =

−1

），使：

( )













−







1DQAAQ

为对角形

备注：

中列都是

AAH

的特征向量，对应特征根

,,,





例：













−

=0i

为hermite(

AA =

)，求

使

AQQ1−

为对角

解：求得

( )  



=−A，

都为实根，

可知特根

对应特征向量为

( )

i1 −

，特根

1−

对应特向为

( )

1i−

，

令













−

=1i

为酉阵，则













−

可知

11 i 0 i 1 i 1 0

i 1 i 0 i 1 0 1

−−

      

      

− − −

      

Q AQ

为对角形

补例：













−−−

1333

3133

3313

3331

为hermit(

BB=

)，求

使

BQQ1−

为对角形.

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摘要：

1复习：2个许尔公式（Schur）许尔公式(1)：方阵存在可逆阵使为上三角阵；许尔公式(2):方阵存在酉阵，使为上三角阵.证明略.例1：，令，有，；令，有，。例2：，令，有，许尔推论：每个方阵都酉相似于上三角阵.Hermit分解：若是Hermite阵()，则存在优阵，使为对角阵且，特征根都为实数注：中列都是的特征向量证：据许尔公式为上三角阵，为优阵：nnAP==−n0*11DAPPnnAQ==−n0*11DAQQ=2231A−=1111P−=−1111211P...

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