矩阵理论赵迪知识总结-H定理-奇异值

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1
复习：2个许尔公式（Schur）
许尔公式(1)：方阵
nn
A
存在可逆阵
P
使
==
−
n
0
*
1
1DAPP
为上三角阵；
许尔公式(2): 方阵
nn
A
存在酉阵
Q
，使
==
−
n
0
*
1
1DAQQ
为上三角阵.
证明略.
例1：
=22
31
A
，令
−
=11
11
P
，有
，
−
=
−
=
−
−
=
−
−
=
−
10
14
20
28
2
1
11
11
11
53
2
1
11
11
22
31
11
11
2
1
1APP
；
令
=21
11
P
，有
−
−
=
−
11
12
1
P
，
−
=
−
=
−
−
=
−
10
84
21
11
11
40
21
11
22
31
11
12
1APP
。
例2：
−
+
=i21
1i2
A
，令
=i1
1i
2
1
Q
，有
−
−
==
−
i1
1i
2
1
1H
QQ
，
=
=
−
−−
=
−
+
−
−
=
−
20
22
40
44
2
1
i1
1i
2i2
2i22i2
2
1
i1
1i
2
1
i21
1i2
i1
1i
2
1
1AQQ
许尔推论： 每个方阵都酉相似于上三角阵.
Hermit 分解：若
A
是Hermite 阵(
AA =
H
)，则存在优阵
Q
，
使
1
1
0
0n
D
−


==



Q AQ
为对角阵
且，特征根
n
,,,
21
都为实数
注：
Q
中列都是
()
H
=AA
的特征向量
证：据许尔公式
=
−
n
0
*
1
1AQQ
为上三角阵，
Q
为优阵：
1H
QQ
−=
2
共轭转置后：
( )
=
−
n
H
*
0
1
1AQQ
为下三角阵, 且可写左边如下：
( ) ( )
AQQQAQAQQAQQ11 −− === HH
H
H
H
，即
11
(*) 0
0*
nn






=





∴所有的元素 (
*
)都为零，且
ii
=
，即每个
i
为实数（
,n,,,i 321=
）.
由Hermit 分解可得如下结论：
（
AAH
）定理： 任
nm
A
，则
AAH
与
H
AA
都为 Hermite 阵.
且对于
AAH
，存在酉阵
Q
（
H
QQ =
−1
），使：
( )
==
−
n
H
λ
λ
λ
00
00
00
2
1
1DQAAQ
为对角形
备注：
Q
中列都是
AAH
的特征向量，对应特征根
n
,,,
21
例：
−
=0i
i0
A
为hermite(
AA =
H
)，求
Q
使
AQQ1−
为对角
解：求得
( )
11
=−A，
都为实根，
可知特根
1
对应特征向量为
( )
T
i1 −
，特根
1−
对应特向为
( )
T
1i−
，
令
−
−
=1i
i1
2
1
Q
为酉阵，则
==
−
1i
i1
2
1
1H
QQ
可知
11 i 0 i 1 i 1 0
11
i 1 i 0 i 1 0 1
22
−−
 
==
 
− − −
 
Q AQ
为对角形
补例：
−−−
−−−
−−−
−−−
=
1333
3133
3313
3331
B
为hermit(
H
BB=
)，求
Q
使
BQQ1−
为对角形.
摘要：

1复习：2个许尔公式（Schur）许尔公式(1)：方阵存在可逆阵使为上三角阵；许尔公式(2):方阵存在酉阵，使为上三角阵.证明略.例1：，令，有，；令，有，。例2：，令，有，许尔推论：每个方阵都酉相似于上三角阵.Hermit分解：若是Hermite阵()，则存在优阵，使为对角阵且，特征根都为实数注：中列都是的特征向量证：据许尔公式为上三角阵，为优阵：nnAP==−n0*11DAPPnnAQ==−n0*11DAQQ=2231A−=1111P−=−1111211P...

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