矩阵理论赵迪知识总结-单阵谱pu分解

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自习：单阵谱分解（大家自主学习本资料内容）

注：单阵 A（又叫单纯阵，可对角阵）即满足

D ,

Q AQ Q



−







可逆

，

复习：单阵（可对角阵）：若

AA 

相似于对角形，即

Q AQ D



−







(对角形)，称 A为

单纯阵（可对角阵）其中，Q中列都是 A的特征向量,但不一定正交。

注：正规阵一定是单纯阵！与正规阵的谱公式类似，可得单阵谱公式：

(记住)一个单阵充分条件：设 n介方阵 A恰有 n个不同根

1,,



（互异根）

则A为单阵 (必相似于对角阵)

例：3介方阵

1 1 1

0 2 1

0 0 3





=





恰有 3个不同根：

 

( ) 1,2,3A



，可知 A为单阵

。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。

特别，若 2介方阵

Acd



=



恰有 2个不同根





则A为单阵！

例如，

A

=



有2个不同根：

 

( ) 4,1A



，

41

，可知

A

=



为单阵

…………………………………………………………………

单阵的谱公式：若 A为单阵，全体不同根为



，则有

11 kk

A G G



= + +

（叫

的谱分解）

其中

1,k

叫谱阵

且有：①

12 k

G G G I+ + =

②

12 0GG =

，，

)(0 jiGG ji =

③

,kk

G G G G==

（幂等），（但

G G G G==

不成立！）

注意：对于单阵，

G G G G==

不一定成立（此与正规阵不同！）

注: 另外,正规阵的谱公式(4);(5),(6),(7)对单阵也成立！

单阵谱公式证法与正规阵完全相同。提示如下：

由

--1

Q AQ









1 1 2 2 kk

D D D

  

= + +

，



--1 --1

D ( )

A Q Q Q D D Q



= = + +

；

( ) ( )

A QDQ QD Q



−−

= + +

，

令

G QDQ G QD Q

−−



11 kk

A G G



= + +

参考正规阵，同样可证其它公式(4);(5),(6),(7)也成立.

④：

p p p

A G G



= + +

，

p 0,1,2,=

(5)：

( ) ( ) ( )

f A f G f G



= + +

( ) c p

f x c x c x= + + +

为任一多项式.

公式（6）：设 A单阵，全体不同根为

1,,



，则有谱阵公式

()AI



−

()





−

−1

()



−

，

( ) ( )

=A I A I



−−

2 1 2 2

()

( ) ( )



   

−

−− 2

()



−

( ) ( )



−−

( ) ( )

k k k

   

−−

，注：“记号 ”表示“没有此项”，

补充公式（7）：

1 1 1 2 2 2

, , , k k k

AG G AG G AG G

  

= = =

结论：

, , , k

G G G

中各列都是 A的特征向量（分别与

1,,



相对应）

证：

1 1 1 1 1 1 1 1

( ) ( 0 0) ,

AG G G G G G

   

= + + = + + =

特别：若单阵 A只有 2个不同根



，

，则有谱阵：





−

=IA





−

=IA

例：

A

=



（行和为 4）求

100

;

可知



＝4，＝5－4=1

，

 

( ) 4,1A



；A有两个不同根必为单阵，可用谱公式

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摘要：

1自习：单阵谱分解（大家自主学习本资料内容）注：单阵A（又叫单纯阵，可对角阵）即满足，复习：单阵（可对角阵）：若相似于对角形，即(对角形)，称A为单纯阵（可对角阵）其中，Q中列都是A的特征向量,但不一定正交。注：正规阵一定是单纯阵！与正规阵的谱公式类似，可得单阵谱公式：(记住)一个单阵充分条件：设n介方阵A恰有n个不同根（互异根）则A为单阵(必相似于对角阵)例：3介方阵恰有3个不同根：，可知A为单阵。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。特别，若2介方阵恰有2个不同根则A为单阵！例如，有2个不同根：...

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