矩阵理论赵迪知识总结-单阵谱pu分解

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1
自习：单阵谱分解（大家自主学习本资料内容）
注：单阵 A（又叫单纯阵，可对角阵）即满足
1
1
0
D ,
0n
Q AQ Q
−


==



可逆
，
复习：单阵（可对角阵）：若
nn
AA
=
相似于对角形，即
1
1
0
0n
Q AQ D
−


==



(对角形)，称 A为
单纯阵（可对角阵）其中，Q中列都是 A的特征向量,但不一定正交。
注：正规阵一定是单纯阵！与正规阵的谱公式类似，可得单阵谱公式：
(记住)一个单阵充分条件：设 n介方阵 A恰有 n个不同根
1,,
n

（互异根）
则A为单阵 (必相似于对角阵)
例：3介方阵
1 1 1
0 2 1
0 0 3
A


=


恰有 3个不同根：
 
( ) 1,2,3A
=
，可知 A为单阵
。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。
特别，若 2介方阵
恰有 2个不同根
12

则A为单阵！
例如，
31
22
A
=

有2个不同根：
 
( ) 4,1A
=
，
41
，可知
31
22
A
=

为单阵
…………………………………………………………………
单阵的谱公式：若 A为单阵，全体不同根为
1k
,,

， 则有
11 kk
A G G

= + +
（叫
A
的谱分解）
其中
1,k
GG
叫谱阵
且有：①
12 k
G G G I+ + =
②
12 0GG =
， ，
)(0 jiGG ji =
③
22
11
,kk
G G G G==
（幂等），（但
11
,,
HH
kk
G G G G==
不成立！）
注意：对于单阵，
11
,,
HH
kk
G G G G==
不一定成立（此与正规阵不同！）
注: 另外,正规阵的谱公式(4);(5),(6),(7)对单阵也成立！
单阵谱公式证法与正规阵完全相同。 提示如下：
2
由
11
--1
kk
I0
D
0I
Q AQ


==



1 1 2 2 kk
D D D
 
= + +
，
--1 --1
11
D ( )
kk
A Q Q Q D D Q

= = + +
；
11
11
( ) ( )
kk
A QDQ QD Q

−−
= + +
，
令
11
11
,,
kk
G QDQ G QD Q
−−
==
11 kk
A G G

= + +
参考正规阵，同样可证其它公式(4);(5),(6),(7)也成立.
④：
11
p p p
kk
A G G

= + +
，
p 0,1,2,=
(5)：
11
( ) ( ) ( )
kk
f A f G f G

= + +
01
( ) c p
p
f x c x c x= + + +
为任一多项式.
公式（6）：设 A单阵，全体不同根为
1,,
k

，则有谱阵公式
1
1
()AI
G
−
==
11
()
()
k
AI

−
−1
()
k

−
，
12
2
( ) ( )
=A I A I
G

−−
=
2 1 2 2
()
( ) ( )
k
AI
   
−
−− 2
()
k

−
1
( ) ( )
k
k
AA
G

−−
==
1
( ) ( )
k k k
   
−−
，注：“记号 ”表示“没有此项”，
补充公式（7）：
1 1 1 2 2 2
, , , k k k
AG G AG G AG G
 
= = =
结论：
12
, , , k
G G G
中各列都是 A的特征向量（分别与
1,,
k

相对应）
证：
2
1 1 1 1 1 1 1 1
( ) ( 0 0) ,
kk
AG G G G G G
 
= + + = + + =
特别：若单阵 A只有 2个不同根
21
，
，则有谱阵：
21
2
1
−
−
=IA
G
12
1
2
−
−
=IA
G
例：
31
22
A
=

（行和为 4）求
100
A
;
可知
12

＝4， ＝5－4=1
，
 
( ) 4,1A
=
；A有两个不同根必为单阵，可用谱公式
摘要：

1自习：单阵谱分解（大家自主学习本资料内容）注：单阵A（又叫单纯阵，可对角阵）即满足，复习：单阵（可对角阵）：若相似于对角形，即(对角形)，称A为单纯阵（可对角阵）其中，Q中列都是A的特征向量,但不一定正交。注：正规阵一定是单纯阵！与正规阵的谱公式类似，可得单阵谱公式：(记住)一个单阵充分条件：设n介方阵A恰有n个不同根（互异根）则A为单阵(必相似于对角阵)例：3介方阵恰有3个不同根：，可知A为单阵。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。特别，若2介方阵恰有2个不同根则A为单阵！例如，有2个不同根：...

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