矩阵理论赵迪知识总结-发送QR分解例21秋x

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1
QR 分解
许米（Schmidt）正交公式：
设3个向量
n
C
321 ,,
线性无关，
令
11
=
，
1
2
1
12
22 ),(
−=
2
2
2
23
1
2
1
13
33 ),(),(
−−=
则
321 ,,
互正交。
验内积：
），（），＝（，），（ 11
2
1
12
1211
2
1
12
212 ),(),(
−
−=
12
⊥
又
），（），（ 1313
=
（代入
3
）
），（，），（ 12
2
2
23
11
2
1
13
13 ),(
)(
),(
−−=
00
1313 ＝），（），＝（ −−
13
⊥
1
2
1
12
22 ),(
−=
)( 11
=
2
2
2
23
1
2
1
13
33 ),(),(
−−=
），（，），（），（ 23
2
2
23
21
2
1
13
2323 ),(
)(
),(
−−=
00 2323 ）＝，（），＝（
−−
23
⊥
用“许米”方法可造半U阵如下：
由
321 ,,
产生
321 ,,
（互正交）
令
=
3
3
2
2
1
1,,
Q
是半U阵， 可知
IQQH=
2
QR 分解（又叫 UR 分解）
Case1：设
1
( , , )
p n p
A

=
列无关（高阵），即秩
()rank A p=
，
则有分解
A
= QR
其中
1
( , , )
p n p
Q

=
是半U阵，
1
0p
b
R
b


=


是上三角，且
10, , 0
p
bb
可用“许米公式”求出
Q
如下：
由“许米公式”产生
1,,
p

（互正交）
令
1
1
1
,, p
p
p

==
，令
1
( , , )
p
Q

=
，则 Q是半U阵，
IQQH=
Case2：设方阵
nnn
A
=),,( 1
可逆（列无关）
则有 A=QR， 其中
nn
QQ
=
是U阵（优阵），
=
n
b
b
R
0
1
是上三角，且
0,,0
1n
bb
Case3：任一方阵
nn
AA
=
都有分解
A=QR， Q 是U阵，
=
n
b
b
R
0
1
是上三角.
注：在公式 A=QR 中（
IQQH=
），可得公式：
AQR H
=
因为
AQRRRQQQRQAQQRAHHHH ===== )()(
例：
),(
0
1
21
21
=
=
i
i
i
A
，求 QR 分解。
令
==
i
i
1
11
,
摘要：

1QR分解许米（Schmidt）正交公式：设3个向量线性无关，令，则互正交。验内积：又（代入）用“许米”方法可造半U阵如下：由产生（互正交）令是半U阵，可知nC321,,11=1211222),(−=222231211333),(),(−−=321,,），（），＝（，），（11211212112112212),(),(−−=01212）＝，（），＝（−12⊥），（），（1313=3），（，），（12222311211313),()(),(−−=0013...

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