矩阵理论赵迪知识总结-高低分解

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1
满秩分解(高低分解)：
设
nm
AA
=
秩
0)( = rAr
， 则有分解
BCA=
，其中
nrrm CCBB == ,
(也叫高低分解)
B叫列满阵（高阵），C叫行满阵（低阵）；
下面是一些平凡分解（没什么用）：
①设
nn
AA
=
为可逆（
0A
,
）
12 −
=== AAIAAIA nnnnnnnn
②
23
02
10
01
=A
(高阵
2)( =Ar
)
2
AIA=
③
32
010
011
=A
(低阵
2)( =Ar
)
322
=AIA
分解方法：先把
用行变换（只用行变换，不用列变换）化为简化阶形如下：
)(,
00
*
Arr
I
A
r
=
⎯⎯ →⎯
行变换
( )
12
1
1
rr
rr
I e e e


==



取出 A中前 r列 ， 记 为
12
,r
 
令
12
( , )
rmr
B
 
=
令
( )
*
r
CI=
可得
BCA=
一般情况：
1
0 0 * *
0 0 0 0 0 0
r
ee
AD

⎯⎯⎯→ =


行变换
（有 r个阶梯）
在A中取 r个列：
r
21,
与D中
1 2 r
e e e
的位置对应
令
rmr
B
=),( 21
，
( )
nr
r
eeC
=**,,,0 1
可得
BCA=
例：
=
211
110
211
A
求满分解
=
⎯⎯ →⎯
⎯⎯⎯ →⎯ −
−
10
01
,
000
110
101
000
110
211
21
13 r
rr
rr IA 行变换
令
23
11
10
11
=B
32
110
101
=C
,得
== 110
101
11
10
11
BCA
观察法：
=
211
110
211
A
可知第 3列
3 1 2
 
=+
，取前 2列
=
1
0
1
1
，
=
1
1
1
2
摘要：

1满秩分解(高低分解)：设秩，则有分解，其中(也叫高低分解)B叫列满阵（高阵），C叫行满阵（低阵）；下面是一些平凡分解（没什么用）：①设为可逆（,）②(高阵)③(低阵)分解方法：先把用行变换（只用行变换，不用列变换）化为简化阶形如下：取出A中前r列，记为令令可得一般情况：（有r个阶梯）在A中取r个列：与D中的位置对应令，可得例：求满分解令,得观察法：可知第3列，取前2列，nmAA=0)(=rArBCA=nrrmCCBB==,nnAA=0AnAr=)(12−===AAIAAIAnnnnnnnn23021001=A2)(=Ar2AIA=32010011...

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