矩阵理论赵迪知识总结-高低分解

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2025-01-13 0 0 131.65KB 4 页 5.9玖币

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满秩分解(高低分解)：

设

AA 

秩

0)( = rAr

，则有分解

BCA=

，其中

nrrm CCBB  == ,

(也叫高低分解)

B叫列满阵（高阵），C叫行满阵（低阵）；

下面是一些平凡分解（没什么用）：

①设

AA 

为可逆（

0A

nAr =)(

）

12 −

 === AAIAAIA nnnnnnnn

②















(高阵

2)( =Ar

)

AIA=

③

010

011















(低阵

2)( =Ar

)

322 

=AIA

分解方法：先把

AA 

用行变换（只用行变换，不用列变换）化为简化阶形如下：

)(,

Arr













⎯⎯ →⎯ 

行变换

( )

I e e e









取出 A中前 r列，记为

  

令

( , )

rmr

  



令

( )

CI=

可得

BCA=

一般情况：

0 0 * *

0 0 0 0 0 0



⎯⎯⎯→ =





行变换

（有 r个阶梯）

在A中取 r个列：





21,

与D中

1 2 r

e e e

的位置对应

令

rmr

B

=),( 21





，

( )

eeC 

=**,,,0 1

可得

BCA=

例：













211

110

211

求满分解

























⎯⎯ →⎯













⎯⎯⎯ →⎯ −

−

000

110

101

000

110

211

13 r

rr IA 行变换

令















110

101















,得

























== 110

101

BCA

观察法：













211

110

211

可知第 3列

3 1 2

  

，取前 2列















，















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摘要：

1满秩分解(高低分解)：设秩，则有分解，其中(也叫高低分解)B叫列满阵（高阵），C叫行满阵（低阵）；下面是一些平凡分解（没什么用）：①设为可逆（,）②(高阵)③(低阵)分解方法：先把用行变换（只用行变换，不用列变换）化为简化阶形如下：取出A中前r列，记为令令可得一般情况：（有r个阶梯）在A中取r个列：与D中的位置对应令，可得例：求满分解令,得观察法：可知第3列，取前2列，nmAA=0)(=rArBCA=nrrmCCBB==,nnAA=0AnAr=)(12−===AAIAAIAnnnnnnnn23021001=A2)(=Ar2AIA=32010011...

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