最优化理论与方法课件6conjugategradient

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4 无约束优化的方法：共轭梯度法 LHY-SMS-BUAA
最优化理论与方法 ( 最优化基础
)
简介
Hestense 与Stiefel(1952 年)提出！作为求解系数矩阵
对称正定的大规模线性方程组的方法；
偏微分方程数值解、信号处理、参数估计和优化方法等
相关计算问题中经常用该方法，通常使用预条件共轭梯
度法 (PCG)！
𝑮 𝒙 = 𝒃
FR 共轭梯度法：
系数矩阵对称正定的线
性方程组的变分刻画！
唯一极小点： . .
已知 ,
,
Fletcher-Reeves(1964 年)、Polak 与Ribiere(1969
年)等将其推广以极小化非二次函数！
4 无约束优化的方法：共轭梯度法 LHY-SMS-BUAA
最优化理论与方法 ( 最优化基础
)
共轭
已知，定义向量的内积为
定义 4.7.1 已知正定对称矩阵，称向量是 -正交的 /共轭的
(orthogonal/conjugate) ，如果
向量的范数：
向量组即大家熟悉的正交向量组 .
命题 4.7.1 不含零的向量组必线性无关 .
称向量组是的 /共轭的，如果
4 无约束优化的方法：共轭梯度法 LHY-SMS-BUAA
最优化理论与方法 ( 最优化基础
)
共轭方向法
唯一极小点： .
已知 ,
,
已知不含向量组
对任何，由命题 4.7.1 知存在使得
𝒙
∗
−𝒙
0
=𝛼
0
𝒅
0
+𝛼
1
𝒅
1
+⋯+𝛼
𝑛−1
𝒅
𝑛−1
左乘 , 并与做点积
𝛼
𝑘
=𝒅
𝑘
𝑇
𝑮(𝒙
∗
−𝒙
0
)
𝒅
𝑘
𝑇
𝑮 𝒅
𝒌
𝑮 𝒙
∗
=𝒃
已知
，
𝒙
𝑘
−𝒙
0
=𝛼
0
𝒅
0
+𝛼
1
𝒅
1
+⋯+𝛼
𝑘−1
𝒅
𝑘−1
左乘，并与做点积
𝒅
𝑘
𝑇
𝑮
(
𝒙
𝑘
−𝒙
0
)
=0
𝛼
𝑘
=−𝒅
𝑘
𝑇
∇𝑓(𝒙
𝑘
)
𝒅
𝑘
𝑇
𝑮 𝒅
𝒌
⟺ 𝛼
𝑘
=arg min
𝛼
𝑓(𝒙
𝑘
+𝛼𝒅
𝑘
)
4 无约束优化的方法：共轭梯度法 LHY-SMS-BUAA
最优化理论与方法 ( 最优化基础
)
扩展子空间定理
推论 应用精确线搜索的共轭方向法极小化 Hesse 矩阵
为对称正定矩阵的 n元二次函数，至多迭代 n步会终止
于函数的最小点 .
定理 4.7.2 设, 是不含零的 G-正交组 . 那么对于任何，
迭代 ，其中，
产生的序列满足：对任何 , 在直线
上极小化二次函数，同时也在线性流形 (仿射集 )
上极小化二次函数，且满足
摘要：

4无约束优化的方法：共轭梯度法LHY-SMS-BUAA最优化理论与方法(最优化基础)简介Hestense与Stiefel(1952年)提出！作为求解系数矩阵对称正定的大规模线性方程组的方法；偏微分方程数值解、信号处理、参数估计和优化方法等相关计算问题中经常用该方法，通常使用预条件共轭梯度法(PCG)！ = FR共轭梯度法：系数矩阵对称正定的线性方程组的变分刻画！唯一极小点：..已知,,Fletcher-Reeves(1964年)、Polak与Ribiere(1969年)等将其推广以极小化非二次函数！4无约束优化的方法：共轭梯度法LHY-SMS-BUAA最优化理论与方法(最优化...

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