最优化理论与方法课件7subgradient

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4 无约束优化的方法：次梯度 LHY-SMS-BUAA

最优化理论与方法 I ( 最优化基础 )

可微凸函数的刻画

设那么在凸集上凸当且仅当

分析上：由一阶 Taylor 展式得到的的线性近似是函数的偏低估计 .

对于可微凸函数而言，图形任一点的切线 / 切平面是

函数上镜图的非竖直支撑超平面 .

4 无约束优化的方法：次梯度 LHY-SMS-BUAA

最优化理论与方法 I ( 最优化基础 )

扩展实值凸函数

定义 4.13.1 设. 称

是的上镜图 (epigraph) ，记作 . 如果是中的凸集，称是上

的凸函数 . 称在上的投影是在上的有效域 (effective

domain) ，记作：

dom 𝑓=

{

𝒙:∃𝑟,(𝒙,𝒓)∈epi 𝑓

}

{

𝒙:𝒇

(

𝒙

)

<+∞

}

正常假设：凸函数满足 , 且.

正常假设表明凸函数的上镜图非空，且不含竖直线 .

为了方便讨论次梯度和次微分，引入扩展实值函数 .

凸分析文献称满足正常假设的凸函数是正常凸函数

(proper convex function).

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最优化理论与方法 I ( 最优化基础 )

凸函数的扩展实值表示

设在凸集上是凸的，则其扩展实值表示

𝑓

(

𝒙

)

{

𝑓

(

𝒙

)

,如果 𝒙∈𝑆

+∞, 否则

命题函数是凸的 (convex) 当且仅当对每个和每个，

定义域是 dom

例子定义的指示函数

𝛿

𝑆

(

𝒙

)

{

0,如果 𝒙∈𝑆

+∞, 否则

事实：是凸函数当且仅当是凸集

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最优化理论与方法 I ( 最优化基础 )

次梯度

定义 4.13.2 称向量是凸函数在点的次梯度 (subgradient) ，如

果

在的次梯度的全体称作在处的次微分 (subdifferential) ，记作

(x). 如果，称在处次可微 (subdifferentiable).

当，仿射函数

的图形是凸集在点的非竖直支撑超

平面 .

是处的次梯度，

是处的唯一次梯度

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摘要：

4无约束优化的方法：次梯度LHY-SMS-BUAA最优化理论与方法I(最优化基础)可微凸函数的刻画设那么在凸集上凸当且仅当.分析上：由一阶Taylor展式得到的的线性近似是函数的偏低估计..对于可微凸函数而言，图形任一点的切线/切平面是函数上镜图的非竖直支撑超平面.4无约束优化的方法：次梯度LHY-SMS-BUAA最优化理论与方法I(最优化基础)扩展实值凸函数定义4.13.1设.称是的上镜图(epigraph)，记作.如果是中的凸集，称是上的凸函数.称在上的投影是在上的有效域(effectivedomain)，记作：dom��={��:∃��,(��,��)∈epi��}={��:��(��)...

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