最优化理论与方法课件7subgradient
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4 无约束优化的方法：次梯度 LHY-SMS-BUAA
最优化理论与方法 I ( 最优化基础 )
可微凸函数的刻画
设那么在凸集上凸当且仅当
.
分析上：由一阶 Taylor 展式得到的的线性近似是函数的偏低估计 .
.
对于可微凸函数而言，图形任一点的切线 / 切平面是
函数上镜图的非竖直支撑超平面 .
4 无约束优化的方法：次梯度 LHY-SMS-BUAA
最优化理论与方法 I ( 最优化基础 )
扩展实值凸函数
定义 4.13.1 设. 称
是的上镜图 (epigraph) ，记作 . 如果 是中的凸集，称是上
的凸函数 . 称 在上的投影是在上的有效域 (effective
domain) ，记作：
dom 𝑓=
{
𝒙:∃𝑟,(𝒙,𝒓)∈epi 𝑓
}
=
{
𝒙:𝒇
(
𝒙
)
<+∞
}
正常假设：凸函数满足 , 且.
正常假设表明凸函数的上镜图非空，且不含竖直线 .
为了方便讨论次梯度和次微分，引入扩展实值函数 .
凸分析文献称满足正常假设的凸函数是正常凸函数
(proper convex function).
4 无约束优化的方法：次梯度 LHY-SMS-BUAA
最优化理论与方法 I ( 最优化基础 )
凸函数的扩展实值表示
设在凸集上是凸的，则其扩展实值表示
~
𝑓
(
𝒙
)
=
{
𝑓
(
𝒙
)
,如果 𝒙∈𝑆
+∞, 否则
命题 函数是凸的 (convex) 当且仅当对每个和每个，
定义域是 dom
例子 定义 的指示函数
𝛿
𝑆
(
𝒙
)
=
{
0,如果 𝒙∈𝑆
+∞, 否则
事实：是凸函数当且仅当是凸集
4 无约束优化的方法：次梯度 LHY-SMS-BUAA
最优化理论与方法 I ( 最优化基础 )
次梯度
定义 4.13.2 称向量是凸函数在点的次梯度 (subgradient) ，如
果
.
在的次梯度的全体称作在处的次微分 (subdifferential) ，记作
(x). 如果，称在处次可微 (subdifferentiable).
当，仿射函数
的图形是凸集在点的非竖直支撑超
平面 .
是处的次梯度，
是处的唯一次梯度
.
摘要：
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4无约束优化的方法：次梯度LHY-SMS-BUAA最优化理论与方法I(最优化基础)可微凸函数的刻画设那么在凸集上凸当且仅当.分析上：由一阶Taylor展式得到的的线性近似是函数的偏低估计..对于可微凸函数而言，图形任一点的切线/切平面是函数上镜图的非竖直支撑超平面.4无约束优化的方法：次梯度LHY-SMS-BUAA最优化理论与方法I(最优化基础)扩展实值凸函数定义4.13.1设.称是的上镜图(epigraph)，记作.如果是中的凸集，称是上的凸函数.称在上的投影是在上的有效域(effectivedomain)，记作：dom={:∃,(,)∈epi}={:()...
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