最优化理论与方法课件12duality

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5 约束优化的理论：对偶 LHY-SMS-BUAA
最优化理论与方法 I ( 最优化基础
)
Lagrange 对偶问题
的 Lagrange 对偶 (dual) 问题
已知 . 考虑
(
MP
)
⟺min
𝒙∈𝑋
max
𝝀∈ℝ
𝑚
,𝝁∈ℝ
+¿
𝑝
𝐿
(
𝒙,𝝀,𝝁
)
.¿
称是原始 (primal) 问题
𝐿
(
𝒙,𝝀,𝝁
)
=𝑓(𝒙)+
∑
𝑖=1
𝑚
𝜆
𝑖
h
𝑖
(
𝒙
)
+
∑
𝑗=1
𝑝
𝜇
𝑗
𝑔
𝑗
(
𝒙
)
的Lagrange 函数
(MP)
将KKT 条件中存在
的Lagrange 乘子看作
变量，考虑与之关联
的优化问题
5 约束优化的理论：对偶 LHY-SMS-BUAA
最优化理论与方法 I ( 最优化基础
)
对偶问题总是凸优化
记
命题 6.8.1 函数关于是凸的 .
,
对偶问题
max
𝜇≥0
𝜇−1
4𝜇
2
的解和最优值
subject ¿𝝁≥𝟎,
dom 𝑞=
{
(
𝝀,𝝁
)
:𝝁≥𝟎,𝑞
(
𝝀,𝝁
)
>− ∞
}
解和最优值 :
例1( 零对偶间隙 ) 考虑问
题
¿
¿¿𝑥≥1¿
min imize
𝑥∈ℝ
❑
𝑥
2
5 约束优化的理论：对偶 LHY-SMS-BUAA
最优化理论与方法 I ( 最优化基础
)
弱对偶性
定理 5.9.1 对于和的可行解，
推论 5.9.2 i) .
ii) 如果分别是原始可行和对偶可行的和满足 那么和分别
是 和 () 的最优解 .
对偶间隙 (dual gap)：
iii) 如果 () 无(上)界，那么原始问题不可行；如果原始
问题无 (下)界，那么是空集 .
5 约束优化的理论：对偶 LHY-SMS-BUAA
最优化理论与方法 I ( 最优化基础
)
注 1 对偶问题的表述中包含原始变量
对偶问题的表述
注 2 对偶问题表述依赖于原始问题的特定表述形式 !
,
𝑞
(
𝜇
)
=min
𝑥∈ℝ
𝑒
𝑥
+𝜇(𝑥
2
−1)
例2 考虑问题
对偶问题
m a ximize 𝑒
𝑥
+𝜇
(
𝑥
2
−1
)
¿ ¿𝑒
𝑥
+2𝑥 𝜇=0,𝜇≥0
minimize 𝑒
𝑥
¿ ¿ 𝑥≤1,𝑥≥− 1
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最优化理论与方法 I ( 最优化基础
)
零对偶间隙但对偶问题无解
,
𝑞
(
𝜇
)
=min
𝑥∈ℝ
𝑥+𝜇 𝑥
2
例3 考虑问题
对偶问题 :
𝑞
(
𝜇
)
=
{
−1
4𝜇,𝜇>0
−∞ , 𝜇=0
原始问题的解和最优值
对偶问题的最优值 , 但是取不到 ( 对偶问题无解 ) ！
¿
¿¿𝑥
2
≤0¿
𝑓
∗
=min imize
𝑥∈ℝ
❑
𝑥
摘要：

5约束优化的理论：对偶LHY-SMS-BUAA最优化理论与方法I(最优化基础)Lagrange对偶问题的Lagrange对偶(dual)问题已知.考虑(MP)⟺min∈max∈ℝ,∈ℝ+¿(,,).¿称是原始(primal)问题(,,)=()+∑=1h()+∑=1()的Lagrange函数(MP)将KKT条件中存在的Lagrange乘子看作变量，考虑与之关联的优化问题5约束优化的理论：对偶LHY-SMS-BUAA最优化理论与方法I(最优化基础)对偶问题总是凸优化记命题6.8.1...

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