矩阵理论赵迪知识总结-更新SVD公式

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1
SVD（奇异值分解）
预备知识
引理：①任一列向量 X有：
2
| | 0 0
H
X X X X= =  =
②AH Ax=0 与Ax=0 同解，即 AH Ax=0
Ax=0
③任一 A=Am×n 有rank(A) = rank(
A
—
)=rank(AH)，
秩公式：rank(AH A)=rank(AAH)=rank(A)
Pf：先证 AH Ax=0 与Ax=0 同解（利用
00
H
X X X=  =
）
∵由 AH Ax=0
xHAH Ax=0
(Ax)HAx=0
Ax=0（同解）
rank(AH A)=rank(A)
④AH A，AAH都是 Hermit 半正定，且有相同正根！
可由结论“AB 与BA 必有相同非0特根”
或∵|xIm -- AH A |=xm-n| xIn -- AH A |(换位公式)
⑤AH A=0
A=0
∵rank(A)=rank(AH A)=0
A=0
（或用公式 tr(AH A)=tr(A AH)=
2
||
ij
a
，知 tr(AH A)=0
A=0）
定义：设
mn
AA
=
，AH A 的特征值为
12 0
n
   
，
称
12
, , , n
 
为A的奇异值（可含有 0奇异值）.
若rank(AH A)=rank(A)=r，则恰有 r个正根，
12 0
r
   
，
12 0
r r n++
=  = =  =
，称
12
, , , r
 
为A的正奇异值（同样 AAH 也有 r个正根
12 0
r
   
）
奇异值分解 SVD与‘正 SVD’（简化 SVD）
正SVD(又叫短SVD): 设
mn
AA
=
，r =rank(A)>0，
正奇值为
12
, , , r
 
， 则有分解
H
A P Q=
2
1
,,
, ,
0
0m r n r
r
P P Q Q


 = = =



其中
为半优阵：
HH
r
P P I Q Q==
可写正SVD 公式：
10
0
H
r
A P Q


=


Pf(思路)：∵hermit 分解：
10
()
0
HH
n
Q A A Q


=


，
Q
为优阵
可设
12 0
r
   
，
12 0
r r n++
=  = =  =
，r = rank(A)
写
1
( , , )
n n n
Q q q
=
（
1H
=QQ
−
）可知
Q
的列都是特征向量：
1 1 1 1
( ) , ,( ) , ( ) 0, ,( ) 0
H H H H
r r r r n
A A q q A A q q A A q A A q
+
=  =  = =且
令
1
( , , )
r n r
Q q q
=
为半优阵
令
1
1
, , ,
| | | |
r
rmr
Aq Aq
PAq Aq

=

也为半优，验证如下
∵内积
( ) ( ) ( )
1 2 2 1 2 1 1 2 1
, ( ) ( ) 0
HH H H
Aq Aq Aq Aq q A A q q q= =   =
(正交)，
即
12
Aq Aq⊥
，同理也有其它正交：
1r
Aq Aq⊥
等等
∴P为半优
又知：
( ) ( )
22
1 1 1 1 1 1 1 1
| | ( ) | | 0
HHH
Aq Aq Aq q A A q q= =   = 
11
||Aq =
，同理
22
| | , ,| | 0
rr
Aq Aq=  = 
可知
11
11
, , , , , ,
| | | |
rr
rrmr
Aq Aq Aq Aq
PAq Aq


==






（为半优）
下面证明一个公式：
11
()
HH
rr
A q q q q A+ + =
(**)
由于同解定理“AH Ax=0
Ax=0”可知
3
11
1 1 1 1 1 1
00
( ) ( )
HH
r n r n
H H H H H H
r r r r r r n n
A Aq A Aq Aq Aq
A q q q q A q q q q q q q q
++
++
= = = = = =
+ + = + + + +
且
1
1 1 1 1 1
( , , ) QQ
H
H
H H H H
r r r r n n n n
H
n
q
q q q q q q q q q q I
q
++


+ + + + = = =



∴
1 1 1 1 1 1
( )= ( )
H H H H H H
r r r r r r n n
A q q q q A q q q q q q q q AI A
++
+ + + + + + = =
可得公式：
11
()
HH
rr
A q q q q A+ + =
1 1 1
11
1
11
, , , =( , , )
( )
0
0
HH
Hrr
HH
rrr
r
HH
rr
qq
Aq Aq
P Q Aq Aq
qq
A q q q q A

   


   
=


   



    
   

= + + =
可验证：
其中
1
( , , )
HH
r
Q q q==
1
H
H
r
q
q





，
10
0r


=


即得正SVD 公式：
10
0
HH
r
A P Q P Q


=  = 


证毕.
备注：依次把P,Q 扩大为U阵:W=
P=
(P, P2); V=
Q=
(Q, Q2)
0
D00
H H H
W V W V P Q A

= =  =


可验证：
最后，可得奇异分解(SVD)如下
SVD 公式（奇异分解）设
mn
AA
=
正奇值为
12
, , , 0
r
 
，
0
D D 00
H
mn
A W V

==


则有 ，其中
且W=Wm×m， V=Vn×n 为2个优阵.
摘要：

1SVD（奇异值分解）预备知识引理：①任一列向量X有：②AHAx=0与Ax=0同解，即AHAx=0Ax=0③任一A=Am×n有rank(A)=rank()=rank(AH)，秩公式：rank(AHA)=rank(AAH)=rank(A)Pf：先证AHAx=0与Ax=0同解（利用）∵由AHAx=0xHAHAx=0(Ax)HAx=0Ax=0（同解）rank(AHA)=rank(A)④AHA，AAH都是Hermit半正定，且有相同正根！可由结论“AB与BA必有相同非0特根”或∵|xIm--AHA|=xm-n|xIn--AHA|(换位公式)⑤AHA=0A=0∵rank(A)=rank(AHA)=0A=...

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